Estimation et contrôle sous contraintes par méthodes à noyaux

Estimation and control under constraints through Kernel methods

• Auteur / Autrice : Pierre-Cyril Aubin-Frankowski
• Direction : Nicolas Petit
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématique et automatique
• Date : Soutenance le 05/07/2021
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Ingénierie des Systèmes, Matériaux, Mécanique, Énergétique
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre automatique et systèmes (Fontainebleau, Seine et Marne)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation de la thèse : École nationale supérieure des mines (Paris ; 1783-....)
• Jury : Président / Présidente : Alban Quadrat
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nicolas Petit, Didier Henrion, Laurent Pfeiffer, Pauline Bernard
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Michel De Lara, Johan A. K. Suykens

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie du contrôle

Statistique mathématique

Commande, Théorie de la

Noyaux (analyse fonctionnelle)

Mots clés libres

Méthode à noyaux

Contrôle optimal

Contraintes de formes

Contraintes d'état

Inférence de dynamiques

Kernel methods

Optimal control theory

Shape constraints

State constraints

Vehicle dynamics inference

Résumé

Les contraintes ponctuelles d'état et de forme en théorie du contrôle et en estimation non-paramétrique sont difficiles à traiter car elles impliquent souvent un problème d'optimisation convexe en dimension infinie avec un nombre infini de contraintes d'inégalité. La satisfaction de ces contraintes est essentielle dans de nombreuses applications, telles que la planification de trajectoires ou la régression quantile jointe. Les noyaux reproduisants sont un choix propice aux évaluations ponctuelles. Cependant les théorèmes de représentation qui en sous-tendent les applications numériques ne peuvent pas être appliqués à un nombre infini d'évaluations. Par des arguments algébriques et géométriques constructifs, nous prouvons qu'un nombre infini de contraintes affines à valeur réelle sur les dérivées des fonctions peut être surcontraint par un nombre fini de contraintes coniques du second ordre si l'on considère des espaces de Hilbert à noyau reproduisant de fonctions à valeurs vectorielles. Nous montrons que le contrôle optimal linéaire-quadratique (LQ) sous contraintes d'état est une régression sous contrainte de forme sur l'espace de Hilbert de trajectoires contrôlées linéairement. Cet espace est défini par un noyau LQ explicite lié à la matrice de Riccati. L'efficacité de notre approche est illustrée par divers exemples issus de la théorie du contrôle linéaire et de l'estimation non-paramétrique. Enfin, nous énonçons des résultats pour des inclusions différentielles générales dans des problèmes de temps minimal et d'identification du graphe de la correspondance. Surtout nous faisons ressortir un lien nouveau entre méthodes à noyaux et contrôle optimal en identifiant le noyau hilbertien des espaces de trajectoires contrôlées linéairement.

Pointwise state and shape constraints in control theory and nonparametric estimation are difficult to handle as they often involve convex optimization problem with an infinite number of inequality constraints. Satisfaction of these constraints is critical in many applications, such as path-planning or joint quantile regression. Reproducing kernels are propitious for pointwise evaluations. However representer theorems, which ensure the numerical applicability of kernels, cannot be applied for an infinite number of evaluations. Through constructive algebraic and geometric arguments, we prove that an infinite number of affine real-valued constraints over derivatives of the model can be tightened into a finite number of second-order cone constraints when looking for functions in vector-valued reproducing kernel Hilbert spaces. We show that state-constrained Linear-Quadratic (LQ) optimal control is a shape-constrained regression over the Hilbert space of linearly-controlled trajectories defined by an explicit LQ kernel related to the Riccati matrix. The efficiency of the developed approach is illustrated on various examples from both linear control theory and nonparametric estimation. Finally, we provide some results for general differential inclusions in minimal time problems and identification of the graph of the set-valued map. Most of all we bring to light a novel connection between reproducing kernels and optimal control theory, identifying the Hilbertian kernel of linearly controlled trajectories.