De la rareté à la typicité : le parcours improbable d'une grande déviation
Auteur / Autrice : | Lydia Chabane |
Direction : | Gatien Verley, Raphaël Chetrite |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Physique |
Date : | Soutenance le 26/11/2021 |
Etablissement(s) : | université Paris-Saclay |
Ecole(s) doctorale(s) : | Physique en Ile de France |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Laboratoire de physique des deux infinis Irène Joliot-Curie (2020-....) |
référent : Faculté des sciences d'Orsay | |
graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Physique (2020-....) | |
Jury : | Président / Présidente : Cécile Monthus |
Examinateurs / Examinatrices : Hugo Touchette, Eric Bertin, Francesco Turci | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Hugo Touchette, Eric Bertin |
Mots clés
Résumé
Le problème du conditionnement de processus de Markov homogènes en temps sur une fluctuation rare a été étudié dans le cadre de la théorie des grandes déviations. Sur cette base, un nouveau processus équivalent au processus conditionné a été introduit en utilisant la transformée de Doob généralisée : il s'agit du « processus drivé ». Dans cette thèse, on ambitionne de généraliser ces résultats à une classe plus large de processus de Markov. Dans la première partie de ce manuscrit, on considère des processus de Markov conduits périodiquement, caractérisés par des générateurs périodiques. On veut conditionner ces processus sur des observables définies via des fonctions périodiques en temps. En adaptant les résultats du cas homogène en temps, on construit le processus drivé pour lequel les valeurs typiques de nos observables après un grand nombre de périodes correspondent aux valeurs utilisées pour le conditionnement. Dans le cas périodique, les générateurs indépendants du temps deviennent périodiques, les exponentielles de matrices deviennent des exponentielles ordonnées en temps et les problèmes spectraux deviennent des équations différentielles du premier ordre. Le processus drivé s’obtient soit en utilisant l'équivalence de probabilités de chemin, soit à partir d'un problème d'optimisation de fonctions de grandes déviations. Dans la deuxième partie de ce manuscrit, nous étendons ces résultats au cas général des processus de Markov non linéaires décrits par des lagrangiens et des hamiltoniens indépendants du temps. Dans ce nouveau formalisme, la transformée de Doob généralisée menant vers le processus drivé se traduit par une transformation canonique sur les hamiltoniens. Cette transformation --- que l’on appellera « rectification » --- nécessite d'étudier l’analogue non linéaire du théorème de Perron-Frobenius. Cette étude nous a conduits à conjecturer une classification des solutions d'une équation de Hamilton-Jacobi. Nous concluons cette partie par une ouverture sur le problème du conditionnement des processus non linéaires conduits périodiquement.