Geometry of the holomorphic symplectic manifolds and the characteristic foliation
Géométrie des variétés hyper-kählériennes et le feuilletage caractéristique
Résumé
In this thesis we study the characteristic foliation on a hypersurface in a smooth projective holomorphic symplectic manifold. Let us explain the problem in details. Let X be a smooth projective irreducible holomorphic symplectic manifold of dimension 2n and Y be a smooth hypersurface in X. Let σ be a holomorphic symplectic form on X. At every point x of Y the holomorphic symplectic form σ restricts to the tangent space ⊤ᵧ,ₓ of Y at x as an alternating form of corang 1. Thus, it has one-dimensional kernel. The characteristic foliation F of Y is the kernel of symplectic form σ restricted to Y. One can ask what could be the dimension of the Zariski closure of a general leaf of F. In this thesis we find the answer to this question in few cases.In the first case the irreducible holomorphic symplectic manifold X is equipped with a Lagrangian fibration π : X →Pn. One calls a hypersurface Y vertical if there exists a hypersurface D in ℙⁿ such that Y is the pre-image of D. We proved that the Zariski closure of a general leaf of the chatacteristic foliation on Y is dense in a fiber of the Lagrangian fibration π.In the second we consider a nef and big hypersurface Y in X. We prove that a general leaf of the characteristic foliation on Y is Zariski dense in Y. Afterwards, we study the characteristic foliation on singular hypersurfaces. We give few examples of singular vertical hypersurfaces such that a general leaf of the characteristic foliation is not Zariski dense in a fiber of the Lagrangian fibration. Next, we consider the variety X of lines in the cubic fourfold. We give two example of a singular hypersurface Y in X such that a general leaf of the characteristic foliation on Y is not Zariski dense in Y. Towards the end of the thesis we study the holomorphic symplectic fourfold constructed by O. Debarre and C. Voisin. We find a hypersurface in the manifold and construct a natural foliation of rank one on this hypersurface. We conjecture that this foliation is characteristic.
Dans cette thèse nous étudions le feuilletage caractéristique sur une hypersurface lisse dans une variété hyper-kählérienne. Voici une explication détaillée du problème. Soit Y une hypersurface lisse dans une variété hyper-kählérienne irréductible projective X de dimension 2n et σ une forme holomorphiquement symplectique sur X. Pour chaque point x ε Y la forme σ est une forme non-dégénérée sur ⊤ᵪ,ₓ. Donc la forme restreinte à ⊤ᵧ,ₓ est de corang 1 (c'est à dire le noyau de σ/⊤ᵧ,ₓ est de dimension une). Le feuilletage caractéristique F sur une hypersurface Y est le noyau de la forme symplectique σ restreinte à Y. On peut poser la question suivante: quelle est la dimension de la fermeture de Zariski de la feuille générale de F. Dans cette thèse nous avons trouvé la fermeture de Zariski d'une feuille générale de F dans des certains cas.Le premier cas est le suivant. Soit X une variété hyper-kählérienne irréductible projective de dimension 2n. Soit la variété X munie d'une fibration lagrangienne π : X →ℙⁿ. On appelle l'hypersurface Y dans X verticale s'il existe une hypersurface D dans ℙⁿ tel que son image réciproque est Y. Nous avons démontré que la fermeture de Zariski d'une feuille générale du feuilletage caractéristique sur Y est une fibre de la fibration π.Voici le deuxième cas. Soit Y une hypersurface lisse nef et big dans X. Nous avons démontré qu'une feuille générale du feuilletage caractéristique est Zariski dense dans Y. Dans la suite de la thèse nous étudions le feuilletage caractéristique sur les hypersurfaces singulières. Nous exhibons des exemples d'hypersurfaces verticales telles que la fermeture d'une feuille générale est une sous-variété propre de la fibre de la fibration lagrangienne. Après, nous étudions la variété X des droites sur une hypersurface cubique de ℙ⁵. Nous décrivons deux exemples d'hypersurfaces singulières Y dans X tel qu'une feuille générale du feuilletage caractéristique sur Y n'est pas Zariski dense dans Y. Vers la fin de la thèse nous étudions la variété hyperkählerienne de dimension 4 construite par O. Debarre et C. Voisin. Nous trouvons une hypersurface dans cette variété et construisons un feuilletage naturel de rang un sur cette hypersurface. Nous conjecturons que ce feuilletage est le feuilletage caractéristique.
Origine : Version validée par le jury (STAR)