Vers la classification des variétés de caractères sauvages

Towards the classification of wild character varieties

• Auteur / Autrice : Jean Douçot
• Direction : Philip Boalch
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 29/09/2021
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Jury : Président / Présidente : Olivier Schiffmann
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Hiraku Nakajima, Carlos Simpson, Viktoria Heu, David Hernandez
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Hiraku Nakajima, Carlos Simpson

Mots clés

Mots clés contrôlés

Painlevé, Équations de

Espaces de modules

Matrices de Stokes

Groupes de monodromie

Connexions (mathématiques)

Mots clés libres

Connexions méromorphes

Variétés de caractères sauvages

Phénomène de Stokes

Singularités irrégulières

Espaces de modules

Meromorphic connections

Wild character varieties

Stokes phenomenon

Irregular singularities

Moduli spaces

Résumé

Cette thèse est motivée par la question de la classification des variétés de caractères sauvages, qui sont les espaces de modules de connexions irrégulières sur les courbes. Ces variétés dépendent du choix de données de singularité caractérisant la forme des singularités des connexions, et il arrive souvent que des données de singularité différentes, correspondant à des connexions de rangs différents, avec des nombres de singularités différents, donnent lieu à des espaces de modules isomorphes. Nous définissons un diagramme associé à une connexion algébrique quelconque sur un ouvert de Zariski de la droite affine, généralisant des constructions précédentes reliant les variétés de caractères sauvages aux carquois au cas où il y a plusieurs singularités irrégulières, possiblement ramifiées. L'idée de la construction est d'utiliser la transformation de Fourier-Laplace pour se ramener à la situation de Boalch-Yamakawa, où il y a seulement une singularité irrégulière. Le diagramme est invariant sous l'action des automorphismes symplectiques de l'algèbre de Weyl, de telle sorte qu'il y a plusieurs connexions, avec des données de singularité différentes, correspondant au même diagramme. D'autres propriétés des cas précédents restent vraies dans notre cadre plus général : ainsi la dimension de la variété de caractère sauvage est donnée par une formule faisant intervenir la matrice de Cartan du diagramme, et on obtient des réflexions de Weyl simples par rapport à certains sommets du diagramme en appliquant certaines opérations sur les connexions. Comme application de cette construction, nous pouvons voir beaucoup de représentations de Lax connues pour les équations de Painlevé, ainsi que pour des analogues en dimension supérieure, comme des représentations différentes du même diagramme. Nous classifions aussi les cas où le diagramme a un seul sommet, et moins de 2 boucles.

This thesis is motivated by the question of the classification of wild character varieties, which are moduli spaces of irregular connections on curves. These varieties depend on the choice of some singularity data characterizing the form of the singularities of the connections, and it often occurs that different singularity data, corresponding to connections with different ranks and different number of singularities, give rise to isomorphic moduli spaces. We define a diagram associated to any algebraic connection on a Zariski open subset of the affine line, generalizing previous constructions relating wild character varieties to quivers to the case where there are several irregular singularities, possibly ramified. The idea of the construction is to use the Fourier-Laplace transform to reduce to the setting of Boalch-Yamakawa, where there is only one irregular singularity. The diagram is invariant under symplectic automorphisms of the Weyl algebra, so that there are several connections, with different singularity data, giving rise to the same diagram. Some other properties of the previous cases still hold in our more general setting: the dimension of the wild character variety is given from the diagram by a formula involving its Cartan matrix, and simple Weyl reflections with respect to some vertices of the diagram are obtained by applying some operations on connections. As an application of this construction, we can view many known different Lax representations of Painlevé equations, as well as of some higher dimensional analogues, as different representations of the same diagram. We are also able to classify all cases for which the diagram has one vertex and less than two loops.