Sur la résolution des équations de Navier-Stokes sans viscosité verticale

Solving the Navier-Stokes equations without vertical viscosity

• Auteur / Autrice : Alexandre Yotopoulos
• Direction : Isabelle Gallagher
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 08/07/2021
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Michel Broué
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Michel Broué, Anne-Laure Dalibard Roux, Pierre Gilles Lemarié, Frédéric Charve, Georges Skandalis
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Anne-Laure Dalibard Roux, Pierre Gilles Lemarié

Mots clés

Mots clés contrôlés

Littlewood-Paley, Théorie de

Viscosité

Navier-Stokes, Équations de

Mots clés libres

Equations de Navier-Stokes

Viscosité anisotrope

Théorie de Littlewood-Paley

Navier-Stokes equations

Anisotropic viscosity

Littlewood-Paley theory

Résumé

Les équations de Navier-Stokes représentent le mouvement d’un fluide visqueux, homogène et incompressible : ces équations forment un système d’équations aux dérivées partielles non linéaires d’évolution, portant sur la vitesse et la pression du fluide. Dans le cas bidimensionnel il est connu depuis les travaux de J. Leray en 1933 que ces équations possèdent une unique solution, globale en temps. Cette solution est d’énergie finie (et l’énergie reste conservée au cours du temps). Le résultat de J. Leray repose de manière cruciale sur la structure du terme non linéaire de l’équation. Dans le cas tridimensionnel en revanche, il n’est pas connu si les solutions construites par J. Leray sont uniques (des travaux très récents démontrent en fait la non unicité pour les équations avec force extérieure). La question de leur unicité en général est ainsi un problème fondamental en mathématiques, et de nombreux travaux depuis ont été consacrés à cette étude. En particulier il est connu depuis 1964 que pour des données initiales suffisamment petites dans un espace invariant par le changement d’échelle de l’équation, il existe une unique solution globale aux équations de Navier-Stokes tridimensionnelles. En revanche sans hypothèse de petitesse, on peut construire une solution unique sur un temps court seulement, et la question de la prolongation de cette solution au-delà de ce temps court est une question ouverte (qui est l’une des 7 « Millenium Problems » énoncés par la Fondation Clay en 2000). Ces résultats d’unicité n’utilisent pas la forme spéciale du terme non linéaire de l’équation, et sont ainsi valables pour de nombreux modèles (en particulier certains pour lesquels on sait que la solution peut exploser en temps fini). Dans ce travail de thèse, on cherche à faire le lien entre les résultats bidimensionnels et tridimensionnels, en tachant d’utiliser au mieux la structure de l’équation : on étudie les équations de Navier-Stokes tridimensionnelles, homogènes et incompressibles, en l'absence de viscosité dans une direction. On montre qu'il existe des données initiales arbitrairement grandes générant une solution globale unique, dont la caractéristique est qu'elles sont lentement variables dans la direction où la viscosité est manquante. On utilise de manière cruciale la structure du terme non linéaire de l’équation, et la difficulté provient de l'absence totale d'effet régularisant dans cette direction.

The Navier-Stokes equations represent the motion of a viscous, homogeneous and incompressible fluid: these equations form a system of non-linear partial differential equations of evolution, concerning the velocity and pressure of the fluid. In the two-dimensional case, it is known since the work of J. Leray in 1933 that these equations have a unique solution, global in time. This solution is of finite energy (and the energy remains conserved over time). Leray's result is crucially based on the structure of the non-linear term of the equation. In the three-dimensional case, on the other hand, it is not known whether the solutions constructed by J. Leray are unique (very recent work in fact demonstrates non-uniqueness for equations with external force). The question of their uniqueness in general is thus a fundamental problem in mathematics, and many works have since been devoted to this study. In particular, it has been known since 1964 that for sufficiently small initial data in a space invariant by scaling of the equation, there is a unique global solution to the three-dimensional Navier-Stokes equations. On the other hand, without the assumption of smallness, a unique solution can be constructed over a short time only, and the question of the extension of this solution beyond this short time is an open question (which is one of the 7 "Millennium Problems" stated by the Clay Foundation in 2000). These uniqueness results do not use the special form of the non-linear term of the equation, and are thus valid for many models (in particular some for which it is known that the solution can blow up in finite time). In this thesis, we try to link the two-dimensional and three-dimensional results, trying to make the best use of the structure of the equation: we study the three-dimensional, homogeneous and incompressible Navier-Stokes equations, in the absence of viscosity in one direction. It is shown that there are arbitrarily large initial data generating a unique global solution, the characteristic of which is that they are slowly varying in the direction where viscosity is missing. Crucially, the structure of the non-linear term in the equation is used, and the difficulty arises from the complete absence of a regularising effect in this direction.