Homologie de Hochschild et catégories de singularités

Hochschild homology and singularity categories

• Auteur / Autrice : Yu Wang
• Direction : Bernhard Keller, Nanqing Ding
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 15/12/2021
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Grégory Ginot
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bernhard Keller, Nanqing Ding, Grégory Ginot, Steffen Koenig, Estanislao Herscovich, Andrea Solotar, Rachel Taillefer
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Grégory Ginot, Steffen Koenig

Mots clés

Mots clés contrôlés

Hochschild, Gerhard (1915-2010)

Calabi-Yau, Variétés de

Singularités (mathématiques)

Catégories (mathématiques)

Homologie

Mots clés libres

Homologie de Hochschild

Homologie cyclique

Catégorie dérivée

Catégorie différentielle graduée

Catégorie des singularités

Hochschild homology

Cyclic homology

Derived category

Differential graded category

Singularity category

Résumé

L'homologie de Hochschild a été introduite par Gerhard Hochschild en 1945. Elle est un invariant important d'une algèbre associative sur un corps k. La définition s'étend facilement des k-algébres aux k-catégories et aux k-catégories différentielles graduées (=dg-catégories). Les catégories des singularités ont été découvertes par Buchweitz dans un contexte algébrique en 1986 et redécouvertes par Orlov dans un contexte géométrique en 2003. Dans cette thèse, nous étudions l'homologie de Hochschild des dg-catégories qui enrichissent canoniquement la catégorie dérivée et la catégorie des singularités d'une algèbre de dimension finie. L'un de nos résultats principaux affirme que l'homologie de Hochschild du dg-enrichissement de la catégorie des singularités est calculée par le complexe de Hochschild double, qui est issu de la fusion du complexe de Hochschild classique et de son k-dual. Nous rapportons aussi des applications de l'homologie de Hochschild et de l'homologie cyclique dans l'étude des structures de Calabi-Yau relatives et des complétions de Calabi-Yau relatives suivant des travaux récents de Brav-Dyckerhoff et Yeung.

Hochschild homology was introduced by Gerhard Hochschild in 1945. It is an important invariant of an associative algebra over a field k. The definition extends from k-algebras to k-categories and further to differential graded (=dg) categories. Singularity categories were first introduced by Buchweitz in 1986 in an algebraic setting and rediscovered by Orlov in 2003 in a geometric setting. In this thesis, we study the Hochschild homology of the canonical differential graded categories which enhance the bounded derived category and the singularity category of a finite-dimensional algebra. One of our main results states that Hochschild homology of the dg enhanced singularity category is computed by the double Hochschild complex, which is spliced together from the classical Hochschild complex and its k-dual. We also report on applications of Hochschild and cyclic homology in the study of relative Calabi-Yau structures and relative Calabi-Yau completions following recent work by Brav-Dyckerhoff and Yeung.