The first law of mechanics in general relativity & isochrone orbits in Newtonian gravity

par Paul Ramond

Thèse de doctorat en Astronomie et Astrophysique

Sous la direction de Alexandre Le Tiec et de Jérôme Pérez.

Le président du jury était Mathieu Langer.

Le jury était composé de Mathieu Langer, Adam Pound, Jacques Féjoz, Tanja Hinderer, Nathalie Deruelle, Luc Blanchet.

Les rapporteurs étaient Adam Pound, Jacques Féjoz.

  • Titre traduit

    Première loi de la mécanique en relativité générale et orbites isochrones en gravitation newtonienne


  • Résumé

    La première partie de cette thèse se place dans le contexte du problème à deux corps en relativité générale. Nous établissons une identité variationnelle appelée "Première Loi de la Mécanique'' qui fait le lien entre différents paramètres physiques caractérisant un système binaire d'objets compacts comme son énergie de liaison et son moment cinétique total, aux propriétés des corps, comme leur masse ou leur rotation propre. Notre résultat se base sur le modèle du "squelette gravitationnel'' poussé à l'ordre quadripolaire, combiné avec une généralisation d'une identité variationnelle établie pour des espaces-temps dotés d'une isométrie hélicoïdale pour décrire des orbites circulaires. Nous présentons également un tour d'horizon des modèles de squelettes gravitationnels et des différentes premières lois existant dans la littérature, et discutons des applications et de l'impact de la première loi à l'ordre quadripolaire dans le contexte de l'astronomie gravitationnelle. La seconde partie de la thèse concerne un problème de gravitation Newtonienne, dans lequel il est question d'une classe particulière de potentiels gravitationnels appelés ``potentiels isochrones''. Ceux-ci, introduits dans les années 1950 par Michel Hénon, sont défini par la propriété que toute particule test y orbite avec une période radiale indépendante de son moment cinétique. Après avoir établi une classification complète de cette classe de potentiels, nous explorons la dynamique qu'ils génèrent et donnons une solution analytique des équations du mouvement exclusivement à l'aide d'outils géométriques. Puis, nous proposons une revisite du problème sous l'angle de la mécanique Hamiltonienne, permettant ainsi de voir avec un angle nouveaux certains résultats de mécanique classique, comme l'équation de Kepler, le théorème de Bertrand et les lois de Kepler, et de généraliser ceux-ci à tout orbite isochrone. Enfin, en calculant le forme normale de Birkhoff du système, nous donnons une démonstration purement mécanique du théorème fondamental de l'isochronie, basée sur l'étude des invariants de Birkhoff du système.


  • Résumé

    The Wirst part of the thesis focuses on the relativistic, two-body problem in the context of general relativity. More precisely, we derive a variational identity known as the ``First Law of Mechanics" that relates physical parameters of a binary system of compact objects, such as its total energy and angular momentum, to the characteristics of the objects themselves, such as their masses and spins. Our derivation is based on the gravitational skeleton formalism for compact objects at quadrupolar order, combined with an extended version of a general variational identity established for spacetimes endowed with a helical isometry describing circular orbits. We also propose a review of the various multipolar skeleton models and the different types of First Laws that exist in the literature, and discuss applications and physical implications of our results in the context of gravitational wave astronomy. The second part of the thesis deals with a classical problem of potential theory, in Newtonian gravity. In particular, we continue the exploration of isochrone potentials, introduced in the Wifties by Michel Hénon. These potentials are deWined by the property that any test particle orbits within it with a radial period that is independent of its angular momentum. After a complete classiWication of the isochrone potentials using nothing but euclidean geometry, we explore the dynamics in these potentials by classifying their orbits, providing analytical solutions to the equation of motion. Using a Hamiltonian treatment, we also derive action-angle coordinates for the isochrone problem, providing new insight of several well known result of classical celestial mechanics to all isochrone orbits, such as the Kepler equation, Bertrand's theorem and Kepler's laws of motion, and a generalization of these to all isochrone orbits. Finally, we compute the Birkhoff normal form of the corresponding Hamiltonian for a generic potential, and derive the fundamental theorem of isochrony from the inspection of the Birkhoff invariants of the system


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