Relations d'équivalence sur les 3-sphères d'homologie et filtration de Johnson

Equivalence relations among homology 3-spheres and the Johnson filtration

• Auteur / Autrice : Quentin Faes
• Direction : Gwénaël Massuyeau
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 08/12/2021
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Mathématiques de Bourgogne (IMB) (Dijon)
• Jury : Président / Présidente : Christine Lescop
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Emmanuel Wagner, Luis Paris
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Nariya Kawazumi, Wolfgang Pitsch

Mots clés

Mots clés contrôlés

Homéomorphismes

Théorème de Torelli

Topologie

Mots clés libres

Topologie de petite dimension

Invariants topologiques

Groupe de Torelli

Low-Dimensional topology

Topological invariants

Torelli group

Résumé

Le groupe de Torelli d’une surface est constitué des classes d’isotopie d’homéomorphismes de cette surface qui agissent trivialement sur son homologie. La structure du groupe de Torelli peutêtre approchée par l’étude comparée de deux filtrations sur ce groupe : d’un côté, sa suite centrale descendante et, de l’autre, la filtration dite « de Johnson » donnée par les noyaux des actions naturelles sur les quotients nilpotents successifs du groupe fondamental de la surface.On sait désormais qu’il existe (via les scindements de Heegaard) de très riches interactions entre cette étude en dimension deux et l’étude de certains invariants topologiques en dimension trois: il s’agit précisément des invariants « de type fini » des 3-variétés. Dans cette thèse, nous nous intéressons, à travers l'étude du groupe de Torelli, à des relations d'équivalences sur les 3-sphères d'homologie. Cela nous permet à la fois d'énoncer des résultats sur ces variétés et leurs chirurgies, et des résultats sur la filtration de Johnson du groupe de Torelli.Spécifiquement, nous étudions d'abord le second homomorphisme de Johnson (un homomorphisme défini sur le deuxième sous-groupe de la filtration de Johnson), et son interaction avec le sous-groupe des transformations s'étendant à un corps en anses bordé par la surface considérée. Dans un deuxième temps, nous prouvons qu'une certaine relation d'équivalence est triviale sur l'ensemble des 3-sphères d'homologie. Deux 3-sphères d'homologie sont toujours reliés par une chirurgie utilisant un élément dans le quatrième terme de la filtration de Johnson. Ceci est notamment montré en montrant la surjectivité de la restriction d'un homomorphisme appelé le « coeur de l'invariant de Casson » au quatrième terme de la filtration de Johnson.

The Torelli group of a surface consists of isotopy classes of homeomorphisms of this surface acting trivially at the homological level. The structure of the Torelli group can be approached by the study and the comparison of two filtrations of this group: its lower central series, and the ''Johnson'' filtration, given by the kernels of the natural actions on the successive nilpotent quotients of the fundamental group of the surface. It is now known that there are, via the notion of ''Heegaard splittings'', rich interactions between this 2-dimensional study and the study of some 3-manifolds topological invariants: we refer here precisely to the so-called ''finite-type'' invariants. In this PhD, we are interested, through the study of the Torelli group, to some equivalence relations on homology 3-spheres. This allows us both to state results about homology 3-spheres and their surgeries, and results about the Johnson filtration of the Torelli group.Specifically, we study first the second Johnson homomorphism (a homomorphism defined on the second term of the Johnson filtration), and its interaction with the subgroup of elements extending to a handlebody bounded by the considered surface. This allows us to give new description of the set of homology 3-spheres. In a second part, we prove that a certain equivalence relation is trivial among homology 3-spheres. Two homology 3-spheres are always related by a surgery along an element of the fourth term of the Johnson filtration. This is shown by proving the surjectivity of the restriction of a homomorphism called ''the core of the Casson invariant'' to the fourth term of the Johnson filtration. In the proof, we exhibit a ''non-trivial'' element of the fourth term of the Johnson filtration.