Stabilité des ondes non linéaires de l’équation de Lugiato-Lefever

Stability of nonlinear waves for the Lugiato-Lefever equation

• Auteur / Autrice : Lucie Delcey
• Direction : Mariana Haragus, Nabile Boussaid
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 16/12/2021
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Besançon (Besançon) - Laboratoire de Mathématiques de Besançon (Besançon)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation : Université de Franche-Comté (1971-....)
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Rainer MANDEL, Vladimir Simeonov Gueorguiev

Mots clés

Mots clés contrôlés

Ondes non linéaires

Cauchy, Problème de

Mots clés libres

Équation de Lugiato-Lefever

Ondes périodiques

Bifurcations locales

Stabilité spectrale

Problème de Cauchy

Stabilité asymptotique

Lugiato-Lefever equation

Periodic solutions

Local bifurcations

Spectral stability

Initial value problem

Asymptotic stability

Résumé

Dans le cadre de ce projet de thèse nous étudierons la stabilité temporelle des ondes progressives périodiques et localisées pour l’équation de Lugiato-Lefever, récemment redécouverte en photonique dans le contexte de la formation de peignes de fréquences par effet Kerr dans des résonateurs optiques à modes de galerie. L’équation de Lugiato-Lefever peut être vue comme une version de l’équation de Schrödinger non linéaire incluant des termes d’amortissement, d’excitation extérieure, et de décalage fréquentiel de résonance. D’un point de vue mathématique, cette équation a été très peu étudiée et de nombreuses questions, notamment sur la dynamique de ses solutions, sont entièrement ouvertes. Dans un travail en cours de rédaction, Cyril Godey (doctorant au LMB financé par la région Franche-Comté) a effectué une analyse systématique des bifurcations locales des ondes non linéaires de l’équation de Lugiato-Lefever montrant l’existence de nombreuses solutions, dont certaines encore inconnues dans la littérature physique. Une grande partie des solutions observées expérimentalement ont pu être identifiées par cette analyse. L’étape suivante consiste dans l’étude des propriétés de stabilité. Dans ce projet de thèse nous comptons étudier de manière systématique la stabilité des ondes périodiques et localisées, et tout particulièrement — la stabilité spectrale, qui fournit des conditions nécessaires de stabilité, et — la stabilité non linéaire, orbitale et asymptotique, qui donne des conditions suffisantes de stabilité. Ces ondes jouent un rôle central dans le problème physique mentionné ci-dessus, et un des buts recherchés, au-delà de l’analyse mathématique, est de permettre une meilleure compréhension du problème physique.

In this thesis project, we study the temporal stability of the periodic and localized progressive waves for the Lugiato-Lefever equation, recently rediscovered in photonics in the context of the formation of Kerr-frequency combs in optical resonators gallery modes. The Lugiato-Lefever equation can be seen as a version of the non-linear Schrödinger equation including terms of damping, external excitation, and frequency shift of resonance. From a mathematical point of view, this equation has not been studied a lot and many questions, notably on the dynamics of its solutions, are open. During his PhD, Cyril Godey (former PhD student at the LMB funded by the Franche-Comté region) has carried out a systematic analysis of the local bifurcations of the nonlinear waves of the Lugiato-Lefever equation showing the existence of many solutions, some of which are still unknown in the physical literature. A large part of the solutions observed experimentally could be identified by this analysis. The next step is to study the properties of stability. In this thesis project we intend to study in a systematic way the stability of the waves periodic and localized, in particular - spectral stability, which provides necessary stability conditions, and - non-linear, orbital and asymptotic stability, which gives sufficient stability conditions. These waves play a central role in the physical problem mentioned above, and one of the aims pursued, beyond mathematical analysis, is to allow a better understanding of the physical problem.