Théorèmes de fluctuation détaillés pour les flux d'énergie dans les réseaux harmoniques

Detailed Fluctuation Theorems for Energy Flows in Harmonic Networks

• Auteur / Autrice : Mayssa Hammami
• Direction : Claude-Alain Pillet, Mondher Damak
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 17/05/2021
• Etablissement(s) : Toulon en cotutelle avec Université de Sfax (Tunisie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mer et Sciences (Toulon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de physique théorique (CPT) (Marseille ; Toulon)
• Jury : Président / Présidente : Afif Masmoudi
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Armen Shirikiyan, Annalisa Panati, Mohsen Miraoui
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Vojkan Jaksic, Stephan De Bièvre

Mots clés

Mots clés contrôlés

Riccati, Équation de

Théorie de Cramér (mathématique)

Grandes déviations

Oscillateurs harmoniques

Mécanique statistique hors d'équilibre

Mots clés libres

Grandes déviations

Relation de fluctuation

Production d'entropie

Flux de chaleur

État stationnaire hors équilibre

Large deviations

Fluctuation relations

Entropy production

Heat fluxes

Nonequilibrim steady statte

Résumé

Cette thèse porte sur la mécanique statistique hors équilibre des réseaux d'oscillateurs harmoniques, et plus particulièrement sur la statistique des fluctuations des flux d'énergie dans ces réseaux. C'est un travail original qui s'intéresse à la théorie mathématique du transport sur des réseaux de systèmes mécaniques. Ces modèles jouent un rôle important dans les développements actuels de la mécanique statistique hors équilibre, aussi bien, au niveau de la théorie que des expériences. En effet, contrairement à la mécanique statistique de l'équilibre qui est une discipline bien établie sur des bases universellement acceptées, la mécanique statistique des systèmes hors équilibre est une théorie naissante dont les bases théoriques sont encore fragiles. Une des avancées les plus marquantes dans son développement durant les dernières décennies est la découverte de relations de fluctuations universelles pour la production d'entropie et de leurs implications pour la théorie de la réponse linéaire.Ce travail consiste à mettre en œuvre l'approche axiomatique des relations de fluctuations des systèmes dynamiques classiques dans le cas des réseaux harmoniques. Il présente une poursuite des travaux de [JPS], où des Principes de Grandes Déviations et des Relations de fluctuations ont été démontrés pour la production d'entropie. Nous visons les statistiques des fluctuations des flux de chaleurs de ces réseaux d'oscillateurs. En une première étape, nous décrivons une condition de contrôlabilité du système d'oscillateurs pour un Principe de Grandes Déviations local et les Relations de fluctuations associées. Ensuite, nous étalons notre discussion et nous dérivons un Principe de Grandes Déviations global en imposant certaines conditions sur le réseau.

This thesis focuses on the non-equilibrium statistical mechanics of harmonic oscillator networks, and more particularly on the statistics of fluctuations of energy fluxes in these networks. It is an original work that is related to the mathematical theory of transport on networks of mechanical systems. These models play an important role in the current developments of non-equilibrium statistical mechanics, both in theory and in experiments. Indeed, unlike the statistical mechanics of equilibrium, which is a discipline well established on universally accepted bases, the statistical mechanics of non-equilibrium systems, is a nascent theory whose theoretical bases are still fragile. One of the most significant advance in its development during the recent decades is the discovery of universal fluctuation relationships for the production of entropy and their implications for linear response theory.This work consists in implementing the axiomatic approach of the fluctuation relationships of classical dynamic systems in the case of harmonic networks. It presents a continuation of [JPS], where a Large Deviation Principles and Fluctuation Relations were demonstrated for the entropy production. We aim for statistics of the fluctuations of heat fluxes of these oscillator networks. In a first step, we describe a condition of controllability of the oscillator system to obtain a local Large Deviation Principle and associated Fluctuation Relations. Then, we develop our discussion and derive a global Large Deviation Principle by imposing some condition on the network.