Prolongement des torseurs via les log schémas

Extending torsor via log schemes

• Auteur / Autrice : Sara Mehidi
• Direction : Jean Gillibert, Dajano Tossici
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Applications
• Date : Soutenance le 10/12/2021
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
• Jury : Président / Présidente : Michel Emsalem
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean Gillibert, Dajano Tossici, Qing Liu, Charlotte Hardouin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Niels Borne

Mots clés

Mots clés contrôlés

Schémas en groupes

Jacobiens

Courbes

Théorie des torseurs

Mots clés libres

Schémas

Schémas en groupes

Torseurs

Courbes et modèles réguliers de courbes

Jacobienne de courbe et modèle de Néron de la Jacobienne

Schemes

Group schemes

Torsors

Curves and regular models of curves

Jacobian of curves and Neron model of the Jacobien

Résumé

Soit R un anneau de valuation discrète, de corps de fractions K et de corps résiduel k de caractéristique p > 0. Étant donné un K-schéma en groupes fini plat et commutatif G et une K-courbe lisse et projective C munie d'un point rationnel, on étudie dans cette thèse le prolongement des G-torseurs fppf pointés sur C en torseurs pointés sur un R-modèle régulier de la courbe sur R. Comme on sait que le problème n'a pas toujours de solution dans la catégorie des torseurs fppf, on cherche une solution dans une catégorie plus large, à savoir celle des torseurs logarithmiques. On montre en particulier que le prolongement d'un G-torseur fppf en un torseur log plat se ramène à trouver un R-modèle fini et plat de G, pour lequel un certain morphisme de schémas en groupes dans la Jacobienne J de la courbe se prolonge sur le modèle de Néron de cette dernière. En supposant cette condition satisfaite, on retrouve un critère déjà bien connu de la littérature pour qu'un prolongement fppf existe. Dans un second temps, en généralisant un résultat de Chiodo, on donne un critère pour que le sous-groupe de r-torsion du modèle de Néron de la Jacobienne soit fini et plat sur R. En particulier, cela fournit des exemples intéressants de schémas en groupes commutatifs pour lesquels le critère de notre théorème principal s'applique. Enfin, la dernière partie de cette thèse est consacrée à l'étude d'exemples de prolongements de torseurs. On se donne une courbe hyperelliptique sur Q, dépendant d'un nombre premier p, et dont la Jacobienne contient un sous-groupe isomorphe à (Z/pZ)². Cette dernière propriété implique la donnée d'un mu²p-torseur sur la courbe. On construira pour commencer un modèle régulier de la courbe au-dessus de Zl, pour un certain nombre premier l. Ensuite, on se demandera si le torseur précédent se prolonge sur ce modèle. Pour différentes valeurs de l, on traitera différents exemples qui donneront dans certains cas un prolongement fppf du torseur initial et dans d'autres, un prolongement logarithmique ne provenant pas d'un torseur fppf.

Let R be a discrete valuation ring, with field of fractions K and residue field k of characteristic p > 0. Given a finite flat and commutative group scheme G over K and a smooth projective curve C over K with a rational point, we study in this thesis the extension of pointed fppf G-torsors over C to pointed torsors over a regular model of C over R. We already know that an fppf extension of the torsor doesn't always exist. Therefore, we look for a solution in a larger category, namely the category of logarithmic torsors. We prove that extending a G-torsor into a log flat torsor amounts to finding a finite flat model of G over R, for which a certain group scheme morphism to the Jacobian J of the curve extends to the Néron model of J. Assuming that this condition is satisfied, we shall see that we get to an already well-known criterion in the literature for the torsor to admit an fppf extension.In a second step, by generalizing a result by Chiodo, we give a criterion for the r-torsion subgroup of the Néron model of J to be a finite flat group scheme, and this yields interesting examples of commutative group schemes satisfying the criterium of our main theorem. Finally, the last part of this thesis is devoted to the study of some examples of extension of torsors. Let's give an hyperelliptic curve over Q depending on some prime number p and whose Jacobian contains a subgroup isomorphic to (Z/pZ)². This last property implies the data of a mu²p-torsor over the curve. To begin with, we construct a regular model of the curve above Zl, for some prime number l. Then, we will see if the previous torsor extends over this model. For various values of l, we will see two different cases, where in the first one the initial torsor extends into an fppf torsor over the regular model constructed, while in the second one, the torsor admits a logarithmic extension but not an fppf one.