Actions ergodiques du groupe de Torelli sur les variétés de caractères et du groupe modulaire pur sur les variétés de caractères relatives et dynamique topologique du groupe modulaire

Ergodic actions of Torelli groups on character varieties and pure modular groups on relative character varieties and topological dynamics of modular groups

• Auteur / Autrice : Yohann Bouilly
• Direction : Olivier Guichard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 14/12/2021
• Etablissement(s) : Strasbourg
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg)
• Jury : Président / Présidente : Charles Frances
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Maxime Wolff, Julien Marché
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : William Mark Goldman, Florent Schaffhauser

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie différentielle

Théorie ergodique

Mots clés libres

Groupe modulaire

Variété des caractères

Ergodicité

Systèmes dynamiques

Géométrie

Modular group

Character varieties

Ergodic

Dynamical systems

Geometry

Résumé

L'objectif de cette thèse est de répondre à des problématiques dynamiques quant à l'action du groupe modulaire sur les variétés de caractères de surfaces. Nous étudions d'abord le cas des variétés de caractères à valeurs dans des groupes de Lie semi-simples et compacts. L'action du groupe modulaire est alors connue pour être ergodique. Nous renforçons cette propriété dynamique en démontrant que le sous-groupe de Torelli agit ergodiquement sur ces variétés de caractères. Ce fait généralise un corollaire d'un résultat de Funar-Marché pour les variétés de caractères à valeurs dans SU(2). Ensuite nous adaptons les arguments de la preuve d'un théorème de Marché-Wolff au cas des surfaces à bord. Le groupe modulaire pur agit sur les variétés de caractères relatives. En imposant des conditions aux bords et en considérant les classes d'Euler qui le permettent, nous introduisons un sous-espace analogue à celui de Marché-Wolff et montrons que le groupe modulaire pur agit ergodiquement sur celui-ci. Enfin, l'ergodicité des actions considérées implique que presque toutes les orbites sont denses. Prévite-Xia donne une condition nécessaire et suffisante pour que la classe de conjugaison d'une représentation ait une orbite dense dans la variété des caractères dans SU(2). Avec Gianluca Faraco, nous démontrons un résultat analogue pour l'espace des représentations d'une surface dans un groupe de Lie connexe, compact et Abélien. Nous montrons ainsi qu'une représentation a une orbite dense si et seulement si son image est dense et relions cet énoncé à des problèmes d'approximations diophantiennes.

The aim of this thesis is to answer to some dynamical questions about the modular group action on character varieties of surfaces. We first study the case of character varieties wwith values in a semi-simple and compact Lie groups. The modular group action is then known to be ergodic. We improve this dynamical property in proving that the action of the Torelli subgroup is ergodic on such varieties. This fact generalizes a result of Funar-Marché for character varieties in SU(2). We then adapt the arguments of the proof of Marché-Wolff in the case of surfaces with boundaries. The pure modular group acts on the relative character varieties. Fixing conditions on the boundary and taking the Euler classes which allows it, we introduce a subspace which is analogue to the one of Marché-Wolff and prove that the pure modular group acts ergodically on it. Finally, the ergodicity of the actions we considered implies that almost every orbit is dense. Prévite-Xia gives a necessary and sufficient sufficient on a representation such that its orbits is dense in the character variety in SU(2). With Gianluca Faraco, we prove an analogue result for the representations space in a compact, connected and Abelian Lie group. We hence show that a representation has a dense orbit if and only if its image is dense and relate this statement to problems of Diophantine approximations.