Windings of the planar Brownian motion and Green’s formula
Enlacements du mouvement brownien plan et formule de Green
Résumé
We study the windings of the planar Brownian motion around points, following the previous works of Wendelin Werner in particular. In the first chapter, we motivate this study by the one of smoother curves. We prove in particular a Green formula for Young integration, without simplicity assumption for the curve. In the second chapter, we study the area of the set of points around which the Brownian motion winds at least N times. We give an asymptotic estimation for this area, up to the second order, both in the almost sure sense and in the Lp spaces, when N goes to infinity.The third chapter is devoted to the proof of a result which shows that the points with large winding are distributed in a very balanced way along the trajectory. In the fourth chapter, we use the results from the two previous chapters to give a new Green formula for the Brownian motion. We also study the averaged winding around randomly distributed points in the plan. We show that, almost surely for the trajectory, this averaged winding converges in distribution, not toward a constant (which would be the Lévy area), but toward a Cauchy distribution centered at the Lévy area. In the last two chapters, we apply the ideas from the previous chapters to define and study the Lévy area of the Brownian motion, when the underlying area measure is not the Lebesgue measure anymore, but instead a random and highly irregular measure. We deal with the case of the Gaussian multiplicative chaos in particular, but the tools can be used in a much more general framework.
On s'intéresse dans cette thèse à l'enlacement du mouvement Brownien plan autour des points, dans la succession des travaux de Wendelin Werner en particulier. Dans le premier chapitre, on motive cette étude par celle du cas des courbes plus lisses que le mouvement Brownien. On y démontre notamment une formule de Green pour l'intégrale de Young, sans hypothèse de simplicité de la courbe. Dans le chapitre 2, on étudie l'aire de l'ensemble des points autour desquels l'enlacement du mouvement brownien est plus grand que N. On donne, au sens presque sûr et dans les espaces Lp, une estimation asymptotique au second ordre de cette aire lorsque N tend vers l'infini. Le chapitre 3 est dévoué à la preuve d'un résultat qui montre que les points de grands enlacements se répartissent de manière très équilibrée le long de la trajectoire. Dans le chapitre 4, on utilise les résultats des deux précédents chapitres pour énoncer une formule de Green pour le mouvement brownien. On étudie aussi l'enlacement moyen de points répartis aléatoirement dans le plan. On montre que cet enlacement moyen converge en distribution (presque surement pour la trajectoire), non pas vers une constante (qui serait alors l’aire de Lévy) mais vers une variable de Cauchy centrée en l’aire de Lévy. Dans les deux derniers chapitres, on applique les idées des précédents chapitres pour définir et étudier l’aire de Lévy du mouvement Brownien lorsque la mesure d’aire sous-jacente n’est plus la mesure de Lebesgue mais une mesure aléatoire particulièrement irrégulière. On traite le cas du chaos multiplicatif gaussien en particulier, mais la méthode s’applique dans un cadre plus général.
Origine : Version validée par le jury (STAR)