A propos de codes-barres et d’invariant de Calabi d’homéomorphismes Hamilonien de surfaces

About barcodes and Calabi invariant for Hamiltonian homeomorphisms of surfaces

• Auteur / Autrice : Benoît Joly
• Direction : Patrice Le Calvez, Frédéric Le Roux
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 15/10/2021
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Vincent Colin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ana Rechtman
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Rémi Leclercq, Barney Bramham

Mots clés

Mots clés contrôlés

Invariants

Théorie de Morse

Homologie de Floer

Homéomorphismes

Géométrie symplectique

Mots clés libres

Codes-barres

Calabi

Homéomorphismes hamiltonien

Surfaces

Systèmes-dynamiques

Géométrie symplectique

Barcodes

Calabi

Hamiltonian homeomorphisms

Surfaces

Dynamical-systems

Symplectic geometry

Résumé

Nous cherchons à expliciter certains liens entre la topologie symplectique et l'étude des systèmes dynamiques à travers la notion de code barres d'homéomorphismes hamiltoniens de surfaces et de l'invariant de Calabi de difféomorphismes hamiltoniens du disque unité. Ces deux objets représentent de puissants invariants en topologie symplectique. Plus précisément, nous visons à mettre en avant une interprétation dynamique de ces objets.Cette thèse se divise en deux parties. Dans une première partie nous étudierons les codes barres de Floer d'un point de vue dynamique. Notre motivation provient en particulier de l'utilisation récente des codes barres en topologie symplectique permettant d'obtenir des résultats purement dynamiques. Ainsi, nous expliciterons des constructions de codes barres pour certains homéomorphismes hamiltoniens de surfaces à l'aide de la théorie des feuilletages transverses de Le Calvez. Notre stratégie consistera à calquer la construction de l'homologie de Floer et de l'homologie de Morse à l'aide d'outils de systèmes dynamiques tels que des feuilletages. Nous prouverons en particulier que dans les cas les plus simples, nos constructions correspondent aux codes barres de Floer. Dans une seconde partie nous nous intéresserons à l'invariant de Calabi pour les difféomorphismes hamiltoniens du disque unité. Usuellement, l'invariant de Calabi est bien défini sur l'ensemble des difféomorphismes hamiltoniens à support compact du disque unité. Inspirés par l'interprétation dynamique de cet object donné par Fathi dans sa thèse, nous étendrons la définition de ce dernier au groupe des C1 difféomorphismes hamiltoniens du disque. En particulier, cela nous permettra de calculer l'invariant de Calabi de certaines pseudo-rotations irrationnelles du disque.

The goal of this thesis is to give some links between sympletic topology and the study of dynamical systems through the notion of barcodes of Hamiltonian homeomorphisms of surfaces and the Calabi invariant of Hamiltonian diffeomorphisms of the unit disk. These two objects represent powerful invariants in symplectic topology. More precisely, we aim at giving a dynamical interpretation of these objects. This thesis is divided into two parts. In a first part we will study the Floer Homology barcodes from a dynamical point of view. Our motivation comes from recent results in symplectic topology using barcodes to obtain dynamical results. We will give some constructions of barcodes of some Hamiltonian homeomorphisms of surfaces using Le Calvez's transverse foliation theory. The strategy consists in copying the construction of the Floer and Morse Homologies using dynamical tools like Le Calvez's foliations. In particular, we will prove that for the simplest cases, our constructions coincide with the Floer Homology barcodes. In a second part we will deal with the Calabi invariant of the Hamiltonian diffeomorphisms of the unit disk. Inspired by the dynamical interpretation of this object developed by Fathi in his thesis, we will extend it to the group of C1 Hamiltonian diffeomorphisms of the disk. In particular, we will be able to compute the Calabi invariant of some irrational pseudo-rotations of the disk.