Sur le calcul d'isogénies par résolution d'équations différentielles p-adiques

On isogeny calculation by solving p-adic differential equations

• Auteur / Autrice : Elie Eid
• Direction : Reynald Lercier, Xavier Caruso
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 22/06/2021
• Etablissement(s) : Rennes 1
• Ecole(s) doctorale(s) : MATHSTIC
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....)
• Jury : Président / Présidente : Ariane Mézard
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Cécile Armana, Jean-Marc Couveignes, Bernard Le Stum
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jennifer S. Balakrishnan, David R. Kohel

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles

Courbes elliptiques

Variétés abéliennes

Mots clés libres

Isogénies

Variétés abéliennes

Courbes elliptiques

Courbes hyperelliptiques

Équations differentielles p-Adiques

Calcul formel

Isogenies

Abelian varieties

Elliptic curves

Hyperelliptic curves

P-Adic differential equations

Symbolic computation

Résumé

Nous proposons dans cette thèse des algorithmes effectifs de calcul d’isogénies entre courbes elliptiques et Jacobiennes de courbes hyperelliptiques via l’approche des équation différentielles p-adiques avec un bon contrôle de précision. Plus précisément, nous nous intéressons dans un premier temps au calcul d’isogénies entre courbes elliptiques définies sur une extension de Q2. Ce travail vient ainsi compléter ceux réalisés pour le cas impair. Nous donnons quelques applications, en particulier le calcul d’isogénies entre courbes elliptiques sur des corps finis de caractéristique 2 et de polynômes irréductibles, tous deux en temps quasi-linéaire en le degré. Dans un second temps, nous présentons un algorithme de calcul explicite de représentations rationnelles d’isogénies entre Jacobiennes de courbes hyperelliptiques sur une extension de Qp. Par conséquent, après avoir éventuellement relevé le problème dans les p-adiques, nous obtenons des algorithmes efficaces pour le calcul d’isogénies entre Jacobiennes de courbes hyperelliptiques définies sur des corps finis de caractéristique impaire. Une autre application importante que nous en déduisons est le calcul des polynômes de Cantor de l-divisions. L’efficacité de ces algorithmes repose sur une analyse fine des solutions d’équations différentielles p-adiques.

In this thesis, we propose efficient algorithms for computing isogenies between elliptic curves and Jacobians of hyperelliptic curves via p-adic differential equations with a sharp analysis of the losses of precision. More precisely, in one hand, we are interested in computing elliptic curve isogenies defined over an extension of Q2. This work complements the work carried out over extensions of Qp for p odd. We give some applications, especially computing over finite fields of characteristic 2 isogenies of elliptic curves and irreducible polynomials, both in quasi-linear time in the degree. On the other hand, we present an algorithm for the explicit computation of rational representations between Jacobians of hyperelliptic curves defined over an extension of Qp. Consequently, after having possibly lifted the problem in the p-adics, we obtain efficient algorithms for computing isogenies between Jacobians of hyperelliptic curves defined over finite fields of odd characteristic. Another important application is the computation of Cantor’s l-division polynomials. The efficiency of these algorithms is based on an analysis of the solutions of p-adic differential equations.