Systèmes hyperboliques partiellement dissipatifs et applications à la mécanique des fluides

Partially dissipative hyperbolic systems and applications to fluid mechanics

• Auteur / Autrice : Timothée Crin-Barat
• Direction : Raphaël Danchin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 13/12/2021
• Etablissement(s) : Paris Est
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées - Laboratoire Analyse et Mathématiques Appliquées
• Jury : Président / Présidente : Denis Serre
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Raphaël Danchin, Karine Beauchard, Jean-François Coulombel, Roberto Natalini, Didier Bresch
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Karine Beauchard, Jean-François Coulombel

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles mathématiques

Mécanique des fluides

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

Equations aux dérivées partielles

Analyse harmonique

Mécanique des fluides compressibles

Système hyperbolique partiellement dissipatif

Relaxation

Ecoulement polyphasique

Partial Differential Equations

Harmonic analysis

Compressible fluid mechanics

Partially dissipative hyperbolic systems

Relaxation

Multi-Phase fluid

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de la classe des systèmes hyperboliques partiellement dissipatifs satisfaisant la condition de stabilité de Shizuta-Kawashima (souvent appelée "condition (SK)'') et à un modèle multi-fluide compressible proche de cette classe mais ne vérifiant pas cette condition, le tout dans un cadre à régularité critique.Dans sa thèse datant des années 80, Kawashima a découvert un critère systématique (la condition (SK)) assurant l'existence de solutions globales pour des systèmes partiellement dissipatifs et/ou diffusifs. Ce critère a été récemment revisité par Beauchard et Zuazua qui ont fait le lien avec la notion d'observabilité en théorie du contrôle, et ont pu démontrer l'existence globale de solutions dans des situations qui n'étaient pas couvertes par Kawashima. Pour cela, inspirés par la théorie de l'hypo-coercivité de Villani, ils ont construit des fonctionnelles de Lyapunov comprenant des termes d'ordres inférieurs.Dans la première partie de cette thèse nous établissons l'existence de solutions globales-en-temps pour de petites données initiales dans des espaces de Besov homogènes critiques et justifions la convergence en temps grand vers des états stationnaires stables avec un taux de convergence algébrique. Pour cela, nous reprenons les arguments de Beauchard et Zuazua directement sur le système localisé en fréquences grâce à la décomposition de Littlewood-Paley et au calcul paradifférentiel, et nous analysons les basses fréquences de manière approfondie. Un point clé de notre analyse est la mise en lumière d'un mode textit{purement} amorti en basses fréquencesqui nous permet d'obtenir de meilleures estimations que celles que l'on obtient avec la théorie de Kawashima. Cela nous permet de conclureque le système est globalement bien posé puis, dans le cas particulierdu système d'Euler compressible amorti, de montrer la convergencevers l'équation des milieux poreux lorsque le coefficient d'amortissementtend vers l'infini. Pour ce dernier problème, nous justifions la convergence forte globale-en-espace et dérivons un taux de convergence explicite dans le cadre multi-dimensionnel.Dans la deuxième partie de cette thèse nous nous intéressons au caractère globalement bien posé et à la relaxation d'un écoulement compressible biphasique proche de la classe étudiée précédemment mais ne vérifiant pas la condition (SK) et n'étant pas symétrique. Plus précisément, on démontre l'existence de solutions dans des espaces de Besov homogènes critiques pour un système de Baer-Nunziato amorti et on justifie la convergence forte de ces solutions vers un système de Kapila tout en dérivant un taux de convergence explicite pour le processus de relaxation. Le système initial ne satisfaisant pas la condition (SK) nous le reformulons en un couplage entreun sous-système vérifiant la condition (SK) et une équation de transport, de telle sorte que les termes de couplage soient inoffensifs. Pour compenser le manque de symétrie, nous considérons une fonctionnelle de Lyapunov à poids non-linéaires.

This thesis is devoted to the study of the class of partially dissipative hyperbolic systems satisfying the Shizuta-Kawashima stability condition (often called "(SK) condition'') and to a compressible multi-fluid model close to this class but not satisfying this condition, all in a critical regularity framework.In his thesis in the 80's, Kawashima discovered a systematic criterion (the (SK) condition) ensuring the existence of global solutions for partially dissipative and/or diffusive systems. This criterion was recently revisited by Beauchard and Zuazua who made the link with the notion of observability in control theory, and were able to demonstrate the global existence in situations that were not covered by Kawashima. For this purpose, inspired by Villani's hypocoercivity theory, they constructed Lyapunov functionals including lower-order terms.In the first part of this thesis we establish the existence of global-in-time solutions for small initial data in critical homogeneous Besov spaces and justify the convergence in large time to stable stationary states with an algebraic convergence rate. To do so, we take up the arguments of Beauchard and Zuazua directly on the frequency-localized system thanks to the Littlewood-Paley decomposition and paradifferential calculus, and we analyze the low frequencies thoroughly. A key point of our analysis is to exhibit a damped mode in the low frequencies regime which allows us to recover better estimates than those obtained with Kawashima's theory. It allows us to conclude to the global well-posedness of the system and also to study the relaxation of the damped compressible Euler system to the porous media equation. For this problem, we justify the strong global-in-space convergence and derive an explicit convergence rate for the relaxation process in the multi-dimensional setting.In the second part of this thesis we are interested in the well-posedness and relaxation of a compressible two-phase flow close to the class studied previously but not satisfying the (SK) condition and not being symmetric. More precisely, we prove the global existence of solutions in the framework of critical homogeneous Besov spaces for a damped Baer-Nunziato system and we justify its strong convergence to a Kapila model while deriving an explicit convergence rate for the relaxation process. Since the initial system does not satisfy the (SK) condition, we reformulate it into a coupling betweena subsystem verifying the (SK) condition and a transport equation, such that the coupling terms are harmless. To compensate for the lack of symmetry, we consider a Lyapunov functional with nonlinear weights.