Thèse soutenue

Caracterisations de champs de matrices, potentiels matrices et applications aux operateurs traces
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Auteur / Autrice : Bassem Bahouli
Direction : Cherif Amrouche
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 06/12/2021
Etablissement(s) : Pau
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale sciences exactes et leurs applications (Pau, Pyrénées Atlantiques ; 1995-)
Partenaire(s) de recherche : École supérieure : Ecole normale supérieure de Kouba (Alger)
Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications [Pau]
Jury : Examinateurs / Examinatrices : Aïssa Aibeche, Gilles Carbou
Rapporteurs / Rapporteuses : François Dubois, Patrick Ciarlet

Résumé

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Plusieurs auteurs ont utilisé les champs de contraintes pour résoudre l'équation d’équilibre de la mécanique des milieux continus. Airy (1863) a résolu le cas bidimensionnel, Maxwell (1870) et Morera (1892) ont étudié le cas tridimensionnel. Les solutions obtenues sont des cas particuliers de celles de Beltrami (1892). Gurtin a donné un exemple de solutions ne satisfaisant pas la représentation S = CurlCurlA de Beltrami, ce qui signifie que la représentation précédente est incomplète. De plus, il a montré que si l’ouvert est régulier, alors elle est complète dans l’espace des champs réguliers de contraintes auto-équilibrés.Dans cette thèse intitulée ”Caractérisations de champs de matrices, potentiels matrices et applications aux opérateurs traces”, on s’intéresse à diverses caractérisations de champs de vecteurs, de champs de matrices et spécialement au résultat de Gurtin dans le cas où l’ouvert et les champs de contraintes ne sont pas réguliers.Cette thèse est décomposée en cinq chapitres. Le premier chapitre expose la problématique de recherche traitée dans cette thèse. Il présente également l’origine du sujet de recherche. Dans le deuxième chapitre, on étudie l’opérateur et en particulier l’existence de potentiels vecteurs dans différents cadres fonctionnels.Dans les chapitres 3 et 4, on va montrer quelques versions de la complétude de la représentation de Beltrami et en déduire des décompositions de Helmholtz pour les champs de matrices.Le dernier chapitre est consacré à l’étude de l’image de différents opérateurs traces de fonctions W 2,p (Ω), W 3,p (Ω) lorsque Ω est un ouvert borné de R 2 lipschitzien. L’ingrédient essentiel est donné par la fonction d’Airy ou par la représentation de Beltrami.