Méthodes inverses à régularisation évanescente pour l'identification de conditions aux limites en théorie des plaques minces

Inverse methods with fading regularization for the identification of boundary conditions in thin plate theory

• Auteur / Autrice : Mohamed Aziz Boukraa
• Direction : Franck Delvare
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 14/12/2021
• Etablissement(s) : Normandie
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, information et ingénierie des systèmes (Caen)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université de Caen Normandie (1971-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme (Caen ; 2002-....)
• Jury : Président / Présidente : Mejdi Azaïez
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Franck Delvare, Fabien Caubet, Amel Ben Abda, Laetitia Caille, Juliette Leblond, Liviu Marin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Mejdi Azaïez, Fabien Caubet

Mots clés

Mots clés contrôlés

Éléments finis, Méthode des

Cauchy, Problème de

Identification

Problèmes inverses

Mots clés libres

Méthodes à régularisation évanescente

Méthodes des solutions fondamentales

Théorie des plaques minces

Éléments finis de plaque

Identification de conditions aux limites inaccessibles à la mesure à partir de champs

Inverse problems

Fading regularization method

Cauchy problems

Method of fundamental solution

Finite element method

Thin plate theory

Plate finite elements

Identification of boundary conditions inaccessible to measurement from fields

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons, dans une première partie, à la résolution, par la méthode de régularisation évanescente, du problème de Cauchy associé à l’équation biharmonique. Une attention particulière est consacrée à la mise en œuvre numérique de l’algorithme itératif de résolution en utilisant différentes méthodes numériques telles que la méthode des solutions fondamentales et la méthode des éléments finis et en proposant un nouveau critère d’arrêt de l’algorithme itératif. Après avoir traité le problème avec des conditions aux limites mathématiques, une généralisation de l’étude au problème de Cauchy en théorie des plaques minces, que l’on rencontre en mécanique, est proposée. En effet, la flexion des plaques minces sous les hypothèses de Kirchhoff-Love, est régie par la même équation aux dérivées partielles et du point de vue numérique, des éléments finis de type plaque de Kirchhoff sont combinés avec la technique de régularisation évanescente pour résoudre le problème. Cette approche a, en particulier, permis d’obtenir des reconstructions précises de la solution et de sa dérivée normale sur toute la frontière notamment lors des domaines non réguliers. Ces résultats ont, alors, inspirés l’utilisation des éléments finis de type plaque pour résoudre des problèmes de Cauchy associés à des équations aux dérivées partielles du second ordre. Les résultats obtenus sont très compétitifs par rapport à ceux d’études antérieures. La robustesse vis-à-vis des données très bruitées est également un atout de cette stratégie.

In this thesis, the resolution of the Cauchy problem associated with the biharmonic equation using the fading regularization method is investigated. A particular attention is devoted to the numerical implementation of the iterative algorithm used for the resolution and this by using various numerical methods such as the method of fundamental solutions and the finite element method while proposing a new stopping criterion of the iterative algorithm. Once the mathematical problem, with mathematical boundary conditions, has been treated, the study thus carried out is then generalized to the study of the Cauchy problem in thin plate theory, since in mechanics, the bending of thin plates under Kirchhoff-Love’s assumptions, is governed by the same differential equation. From a numerical point of view, plate finite elements based on Kirchhoff theory known as discrete Kirchhoff finite elements are combined with the fading regularization technique to solve the problem. This strategy made it possible to obtain accurate reconstructions of the solution and of its normal derivative on the whole boundary, in particular for non-smooth geometries. The results thus obtained were an inspiration for the use of plate-type finite elements to solve Cauchy problems associated with second order partial differential equations. The obtained results are very competitive with those of previous studies. Robustness against high level noisy data is also an advantage of this strategy.