Séparation de variables quantiques pour les modèles intégrables de plus haut rangs et supersymétriques

Quantum Separation of Variables in Higher Rank and Supersymmetric Integrable Models

• Auteur / Autrice : Louis Vignoli
• Direction : Jean-Michel Maillet, Giuliano Niccoli
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance le 29/10/2021
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de Physique et Astrophysique de Lyon (1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École normale supérieure de Lyon (2010-...)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de physique (Lyon ; 1988-....)
• Jury : Président / Présidente : Eric Ragoucy-Aubezon
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Michel Maillet, Giuliano Niccoli, Eric Ragoucy-Aubezon, Didina Serban, Véronique Terras, Frank Göhmann
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Didina Serban, Véronique Terras

Mots clés

Mots clés contrôlés

Physique mathématique

Supersymétrie

Yang-Baxter, Équation de

Mots clés libres

Modèles intégrables

Séparation de variables

Équation de Yang-Baxter

Supersymétrie

Physique mathématique

Integrable models

Separation of variables

Yang-Baxter equation

Supersymmetry

Mathematical physics

Résumé

Le travail de cette thèse se situe dans le cadre de l’étude des modèles intégrables quantiques unidimensionnels sur réseau. Il est consacré au développement d’une nouvelle méthode de séparation de variables quantiques pour ces modèles. Cette approche vise à caractériser le spectre de la matrice de transfert qui contient l’ensemble des quantités conservées responsables de l’intégrabilité de tels modèles en construisant une base dite séparée de l’espace de Hilbert du système, permettant de réduire son problème spectral à N variables couplées, N grand voire infini, en N problèmes spectraux indépendants à une variable. Les fonctions d’ondes des états propres sont alors des produits de N fonctions d’onde à une variable. Une avancée récente a été la construction de telles bases à partir de la matrice de transfert elle-même, et la caractérisation du spectre via des équations de fusion découlant de la théorie des représentations de l’algèbre quantique de symétrie sous-jacente. Nous avons obtenu cette construction pour des modèles intégrables super-symétriques gl(m|n). Pour le cas gl(1|2) avec certaines conditions aux bords quasi-périodiques, cela nous a permis de caractériser complètement le spectre en termes de solutions d’un système discret d’équations cubiques aux différences finies, ainsi que de façon équivalente par une équation fonctionnelle appelée courbe spectrale quantique. Nous avons ensuite calculé des produits scalaires entre états séparés dans les modèles intégrables de plus haut rang, ce qui détermine la mesure associée aux bases séparées. Pour le modèle gl(3), cette mesure est pseudo-orthogonale et nous l’avons caractérisée complètement. Nous avons aussi proposé une famille de quantités conservées construisant une base et sa duale, toutes deux séparées et orthogonales l’une de l’autre, simplifiant ainsi les produits scalaires entre états séparées. Cela ouvre la voie au calcul des facteurs de forme et des fonctions de corrélation de ces systèmes.

The work of this thesis belongs to the studies of quantum integrable models on the one-dimensional lattice. It focuses on the development of a new quantum separation of variables method for these particular models. This approach aims to characterise the transfer matrix spectrum—which contains all the conserved quantities responsible for the integrability of such systems—by constructing a so-called separate basis of the Hilbert space of the system, enabling the reduction of its spectral problem with N coupled variables, N big or even infinite, in N independent one-variable spectral problems. The wave functions of the eigenstates are then products of N one-variable wave functions. A recent advance in this context was the construction of such bases from the transfer matrix itself, and the characterisation of the spectrum by the fusion equations stemming from the representation theory of the underlying symmetry algebra. Here, we obtain this construction for supersymmetric gl(m|n) integrable models. For the gl(1|2) case with specific quasi-periodic boundary conditions, it allows us to characterize completely the spectrum in terms of solutions of a discrete system of finite difference cubic equations, but also and equivalently with a functional equation called the quantum spectral curve. We also compute scalar products between separate states in higher rank integrable models, determining the measure associated to separate bases. For the gl(3) model, this measure is pseudo-orthogonal and we characterize it completely. We also put forward a family of conserved quantities that construct a basis and its dual, both separate and orthogonal from each others, simplifying the computation of scalar products between separate states. This paves the ways towards the computation of form factors and correlation functions of such systems in the quantum separation of variables settings.