Sur des algorithmes de décodage de codes géométriques au delà de la moitié de la distance minimale
Auteur / Autrice : | Isabella Panaccione |
Direction : | Alain Couvreur, Daniel Augot |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Informatique |
Date : | Soutenance le 03/12/2021 |
Etablissement(s) : | Institut polytechnique de Paris |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale de l'Institut polytechnique de Paris |
Partenaire(s) de recherche : | établissement opérateur d'inscription : École polytechnique (Palaiseau, Essonne ; 1795-....) |
Laboratoire : Laboratoire d'informatique de l'École polytechnique (Palaiseau ; 1988-....) | |
Jury : | Président / Présidente : Jean-Pierre Tillich |
Examinateurs / Examinatrices : Alain Couvreur, Daniel Augot, Gilles Zémor, Delphine Boucher, Eleonora Guerrini, Peter Beelen, Emmanuel Hallouin | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Gilles Zémor, Delphine Boucher |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Résumé
Cette thèse porte sur les codes géométriques et leur décodage. Cescodes sont constitués de vecteurs d'evaluations de fonctionsspécifiques en des points d'une courbe algébrique. La structurealgébrique sous-jacente de ces codes a permis de concevoir plusieursalgorithmes de décodage. Un premier algorithme pour les codesprovenant de courbes planes est proposé en 1989 par Justesen, Larsen,Jensen, Havemose et Hoholdt. Il est ensuite étendu à toute courbe parSkorobatov et Vladut et appelé ''basic algorithm'' dans laliterature. Quelques années plus tard, Pellikaan et indépendammentKoetter en donnent une formulation sans géométrie algébrique utilisantsimplement le langage des codes. Cette nouvelle interprétation prendle nom d'algorithme ''Error Correcting Pairs'' (ECP) et représente unepercée en théorie des codes, car l'algorithme s'applique à toutcode muni d'une certaine structure qui se décrit uniquement entermes de produits coordonnées par coordonnées de codes. Le rayon dedécodage de cet algorithme dépend du code auquel il est appliqué. Pourles codes de Reed-Solomon, il atteint la moitié de la distanceminimale,seuil d'unicité de la solution. Pour les codes géométriques,l'algorithme arrive à décoder presque toujours une quantité d'erreurségale à la moitié de la distance construite. Toutefois, le bonfonctionnement de l'algorithme n'est garanti que pour une quantitéd'erreurs inférieure à la moitié de la distance construite moins unmultiple du genre de la courbe. Plusieurs tentatives ont ensuite été menéespour effacer cette penalité dûe au genre. Un premierrésultat déterminant a été celui de Pellikaan, qui a prouvél'existence d'un algorithme avec rayon de décodage égal à la moitié dela distance construite. Puis,en 1993 Ehrhard est parvenu à uneprocédure effective pour construire un tel algorithme.En plus des algorithmes pour le décodage unique,les codesgéométriques disposent d'algorithmes corrigeant une quantité d'erreurssupérieure à la moitié de la distance construite. Au delà de cettequantité, l'unicité de la solution pourrait ne pas être assurée. Onutilise alors des algorithmes dits de ''decodage en liste'' quirenvoient la liste des solutions possibles. C'est le cas del'algorithme de Sudan. Une autre approche consiste à concevoirdes algorithmes qui renvoient une unique solution mais peuvent échouer.C'est le cas du ''power decoding''. Les algorithmes de Sudan etdu power decoding ont d'abord été conçus pour les codes deReed-Solomon,puis étendus aux codes géométriques.On observe que ces extensions n'ont pas les mêmes rayonsde décodage: celui de l'algorithme de Sudan est inférieur à celui duPower decoding, la différence étant proportionnelle au genre de la courbe.Dans cette thèse nous présentons deux résultatsprincipaux. Premièrement, nous proposons un nouvel algorithme que nousappelons ''power error locating pairs'' qui, comme l'algorithme ECP,peut être appliqué à tout code muni d'une certainestructure se décrivant en termes de produits coordonnées parcoordonnées. Comparé à l'algorithme ECP, cetalgorithme peut corriger des erreurs au delà de la moitié de ladistance construite du code. Appliqué aux codes de Reed--Solomon ou,plus généralement, aux codes géométriques, il est equivalent àl'algorithme du power decoding. Mais il peut aussi être appliqué àdes codes cycliques spécifiques pour lesquels il permet de décoder audelà de la moitié de la borne de Roos. Par ailleurs, cet algorithmeappliqué aux codes géométriques fait abstraction de la structuregéométrique sous-jascente ce qui ouvre d'intéressantes applications encryptanalyse.Le second résultat a pour but d'effacer la penalité proportionnelle augenre dans le rayon de décodage de l'algorithme de Sudan pour lescodes géométriques. D'abord, en suivant la méthode de Pellikaan, nousprouvons que un tel algorithme existe. Puis, engénéralisant les travaux de Ehrhard et Sudan, nous donnons uneprocédure effective pour construire cet algorithme.