Grandes déviations dans des systèmes de particules en interaction : corrélations hors équilibre et dynamique d'interface

Large deviations in interacting particle systems : out of equilibrium correlations and interface dynamics

• Auteur / Autrice : Benoît Dagallier
• Direction : Thierry Bodineau
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 13/09/2021
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École polytechnique (Palaiseau, Essonne ; 1795-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de mathématiques appliquées (Palaiseau, Essonne)
• Jury : Président / Présidente : Giambattista Giacomin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Thierry Bodineau, Fabio Lucio Toninelli, Stefano Olla, Marielle Simon, Giovanni Conforti
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Fabio Lucio Toninelli, Stefano Olla, Milton Jara

Mots clés

Mots clés contrôlés

Ising, Modèle d'

Particules (physique)

Probabilités

Physique mathématique

Mots clés libres

Particules en interaction

Grandes déviations

Modèle d'Ising

Corrélations

Interfaces

Interacting particle systems

Large deviations

Ising model

Correlations

Interfaces

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude d'événements dynamiques rares dans des systèmes de particules en interaction. Deux modèles sont considérés : le processus d'exclusion simple symétrique unidimensionnel interagissant avec des réservoirs, et un modèle de dynamiques d'interfaces se rapprochant de la dynamique de Glauber du modèle d'Ising bidimensionnel à température nulle.Dans le cadre du modèle d'exclusion simple, les travaux présentés visent à l’étude des corrélations à deux points hors équilibre. Plus précisément, le but est d’estimer la probabilité d'obtenir une valeur atypique des corrélations à deux points moyennées en temps dans la limite hydrodynamique et en temps long. Pour étudier les corrélations à deux points avec le niveau de précision requis, il est nécessaire d’améliorer les techniques existantes. En raffinant la méthode d'entropie relative initialement développée par Yau, un principe de grandes déviations pour les corrélations à deux points est obtenu.La dynamique d'interface modélise l'évolution d'une goutte de spins - d'Ising immergés dans une mer de spins + sur un réseau carré. Dans le cas de la dynamique d’Ising à température nulle, la frontière de cette goute évolue selon un mouvement à courbure moyenne anisotrope, comme a été rigoureusement établi par Lacoin, Simenhaus et Toninelli il y a quelques années. Dans la thèse, c'est la structure des trajectoires atypiques que l'on cherche à comprendre. Pour ce faire, une dynamique d’interface, appelée dynamique de contour et très similaire à la dynamique d’Ising à température nulle est introduite. La seule dissemblance vient de la présence d’un paramètre supplémentaire, jouant le rôle d’une (faible) température agissant localement sur l’interface. En particulier, les dynamiques d’Ising et de contour coïncident quand ce paramètre est nul. Il est montré que la trajectoire typique d’une interface sous la dynamique de contour évolue également par mouvement par courbure moyenne anisotrope, avec une influence du paramètre de température. Un principe de grandes déviations est alors obtenu pour la dynamique de contour, permettant de relier les trajectoires atypiques à des perturbations d'un mouvement à courbure moyenne anisotrope, toujours avec une influence du paramètre de température.

The objective of this thesis is the study of rare dynamical events in some interacting particle systems. Two models are considered : the one dimensional symmetric simple exclusion process interacting with reservoirs, and an interface dynamics related to the zero temperature Glauber dynamics for the two dimensional Ising model.In the case of the simple exclusion process, the work presented in the manuscript concerns the study of the out of equilibrium two-point correlation field. More precisely, the objective of the work is to estimate the probability of observing anomalous time-averaged two-point correlations, in the hydrodynamics scaling and the long time limit simultaneously. Studying two-point correlations at a suitable level of precision requires improving existing techniques. A refinement of the relative entropy method initially due to Yau provides a sufficient toolbox, thanks to which a large deviation principle for time-averaged two-point correlations is obtained.The interface dynamics aims at modelling the evolution of the interface separating a droplet of - Ising spins in a sea of + spins in the zero temperature Ising model. In the zero temperature Ising case, the boundary of this droplet has been shown to follow an anisotropic motion by curvature by Lacoin, Simenhaus and Toninelli a few years ago, rigorously establishing a long standing conjecture. In the manuscript, we aim to investigate the structure of atypical interface trajectories. To do so, another interface dynamics, called the contour dynamics, is introduced. Very similar to the zero temperature Ising dynamics, it differs by the presence of an additional parameter, which plays the role of a (small) temperature acting locally on the interface. In particular, Ising and contour dynamics coincide when this parameter vanishes. We show that the typical interface trajectory in the contour dynamics is still given by an anisotropic motion by curvature, with an influence of the temperature-like parameter. A large deviation principle is also established, characterising atypical trajectories as perturbations of the anisotropic motion by curvature, again with an influence of the temperature-like parameter.