Thèse soutenue

Modèles homogénéisés enrichis en présence de bords : Analyse et traitement numérique
FR  |  
EN
Accès à la thèse
Auteur / Autrice : Clément Beneteau
Direction : Xavier ClaeysSonia Fliss
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques appliquées
Date : Soutenance le 20/01/2021
Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Propagation des Ondes : Étude Mathématique et Simulation (Paris ; Rocquencourt)
Jury : Président / Présidente : François Alouges
Examinateurs / Examinatrices : Clair Poignard, Grigori Panassenko, Bruno Lombard, Renata Béatrice Bunoiu
Rapporteurs / Rapporteuses : Grégory Vial, Clair Poignard

Résumé

FR  |  
EN

Quand on s’intéresse à la propagation des ondes dans un milieu périodique à basse fréquence (i.e. la longueur d’onde est grande devant la période), il est possible de modéliser le milieu périodique par un milieu homogène équivalent ou effectif qui a les mêmes propriétés macroscopiques. C’est la théorie de l’homogénéisation qui justifie d’un point de vue mathématique ce procédé. Ce procédé est très séduisant car les calculs numériques sont beaucoup moins couteux (la petite structure périodique a disparu) et des calculs analytiques sont de nouveau possibles dans certaines configurations. Les ondes dans le milieu périodique et dans le milieu effectif sont très proches d’un point de vue macroscopique sauf en présence de bords ou d’interfaces.En effet, il est bien connu que le modèle homogénéisé est obtenu en négligeant les effets de bords et par conséquent il est beaucoup moins précis aux bords du milieu périodique. Quand les phénomènes intéressants apparaissent aux bords du milieu (comme la propagation des ondes plasmoniques à la surface des métamatériaux par exemple), il semble donc difficile de faire confiance au modèle effectif.En revenant sur le processus d’homogénéisation, nous proposons un modèle homogénéisé qui est plus riche aux niveaux des bords. Le modèle homogénéisé enrichi est aussi simple que le modèle homogénéisé classique loin des interfaces, seule les conditions aux bords changent et prennent mieux en compte les phénomènes. Nous appliquons ce modèle à une équation elliptique dans le cas de la géométrie simple du demi-plan avec des conditions de type Dirichlet ou Neumann. D’un point de vue numérique, en plus des problèmes de cellule classiques qui apparaissent en homogénéisation, des problèmes de bandes périodiques doivent également être résolus. Pour finir, nous appliquons ces résultats à l'homogénéisation de l'équation des ondes en temps long et en présence de bords.