Classes héréditaires de graphes : de la structure vers la coloration

Hereditary classes of graphs : from structure to coloring

• Auteur / Autrice : Cléophée Robin
• Direction : Myriam Preissmann, Nicolas Trotignon
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et informatique
• Date : Soutenance le 22/10/2021
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 199.-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Sciences pour la conception, l'optimisation et la production (Grenoble)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Equipe de recherche Optimisation combinatoire (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Nadia Brauner
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Eunjung Kim
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Pierre Charbit, Daniël Paulusma

Mots clés

Mots clés contrôlés

Coloriage de graphes

Mots clés libres

Graphe

Classes héréditaires

Structure

Coloration

Graph

Hereditary classes

Structure

Coloring

Résumé

Cette thèse porte sur la structure des classes de graphes héréditaires. Une classe de graphes est héréditaire si elle est fermée par suppression de sommet. Une meilleure compréhension de la structure des graphes dans une telle classe peut conduire à des résultats pour certains problèmes d’optimisation comme le problème de la coloration. Dans cette thèse, nous nous concentrons sur trois classes héréditaires de graphes. La première est une sous-classe des graphes sans trou pair. Les deux autres sont des cas ouverts minimaux pour la complexité du problème de coloration restreint aux classes de graphes définies en excluant des sous-graphes d’ordre 4.Tout d’abord, nous donnons un résultat structurel pour la classe de graphes C_k. C’est la classe des graphes dont tous les trous ont longueur k. En utilisant à des résultats antérieurs sur des classes de graphes reliées, nous donnons un théorème de structure pour les graphes dans C_k pour k impair et au moins 7. Le théorème stipule qu’un graphe dans C_k qui ne contient ni un clique cutset ni un sommet universel est un ring ou appartient à une nouvelle classe nommée blowup de template que nous décrivons complètement.Ensuite, nous étudions la structure des graphes dans Free{C4, 4K1}. Nous nous concentrons, tout d’abord, sur les fixers. Un graphe H est un fixer si tout graphes dans Free{C4,4K1} contenant H comme sous-graphe induit est un blowup propre ́étendu de H. Nous prouvons que l’icosaèdre est un fixer. De plus l’icosaèdre moins un sommet possède des propriétés similaires. Il en résulte qu’un graphe dans Free{C4,4K1} contenant un icosaèdre moins un sommet comme sous-graphe induit, a une clique-width bornée et donc peut être colorié en temps polynomial. Nous donnons un programme qui génère tous les fixers d’un petit ordre donné en entrée. Par la suite, nous observons que dans tout graphe G dans Free{C4,4K1}, tout sous-graphe induit par des cliques disjointes est un half graph. Nous donnons quelques idées pour l’étude de la structure des graphes dans Free{C4, 4K1} dont l’ensemble des sommets peut se partitionner en 3 cliques.La derniere classe qui nous interesse est celle des graphes anti-prismatiques. Nous prouvons que le problème de coloration restreint aux graphes anti-prismatiques non-orientables peut se résoudre en temps polynomial. La preuve s’appuie largement sur un résultat structurel de Chudnovsky et Seymour sur la classe complémentaire : les graphes prismatiques. Grace à ce résultat nous prouvons que tout graphe prismatique non-orientable a au plus 10 triangles deux à deux disjoints. Cela conduit à un algorithme en O(n7.5) qui résout le problème de la couverture par cliques dans les graphes prismatiques non-orientables. Nous donnons aussi un algorithme en O(n5) pour résoudre le problème du nombre maximum de triangles disjoints dans tout graphe prismatique, tant orientable que non-orientable.

This thesis deals with the structure of some hereditary classes of graphs. A class of graphs is hereditary if it is closed under vertex deletion. A better understanding of the structure of graphs contained in certain hereditary classes sometime yields results on optimisation problems such as the coloring problem. We focus on three hereditary classes, the first being a subclass of even-hole-free graphs and the other two being minimal open cases for the complexity of the coloring problem when restricted to classes defined by excluding subgraphs of order 4.First we provide a structural result for the class of graphs Ck that is the class of graphs where every hole has length k. Using earlier results on other related classes of graphs, we obtain a structural theorem for the graphs in Ck when k is odd and at least 7. The theorem states that a graph in Ck with no clique cutset and no universal vertex is either a ring or belongs to a new class of graphs named blowup of template that we fully described.Secondly, we study the structure of graphs in Free{C4, 4K1}. We first focus on fixers. A graph H in Free{C4, 4K1} is a fixer if any graph in Free{C4, 4K1} containing H as an induced subgraph is an extended proper blowup of H. We prove that the icosahedron is a fixer. In addition the icosahedron minus one vertex has a similar property. It follows that graphs in Free{C4,4K1} that contain an icosahedron minus one vertex have bounded clique-width and can be colored in polynomial time. We provide a program that computes all fixers of small fixed order. Next we observe that for any graph G in Free{C4,4K1}, every subgraph of G induced by two disjoint cliques is a half graph. We give some thoughts on the study of the structure of graphs in Free{C4, 4K1} whose vertex sets can be partitioned into 3 cliques.The last class that we are interested in, is the class of antiprismatic graphs. We prove that the coloring problem is polynomial-time solvable when restricted to non-orientable antiprismatic graphs. The proof is largely based on the structural result provided by Chudnovsky and Seymour on the complement class: the prismatic graphs. Using this result, we prove that every non-orientable prismatic graph has at most 10 pairwise disjoint triangles. This yields a O(n7.5) algorithm that solves the clique cover problem in non-orientable prismatic graph. We also give an O(n5) algorithm for solving the problem of finding a maxi- mum number of vertex-disjoint triangles in both orientable and non-orientable prismatic graphs.