Modèle de marge, analyse de sensibilité avec des marges et quantification d'incertitudes dans des graphes de fonctions pour des systèmes industriels complexes

Model of margin, margin sensitivity analysis and uncertainty quantification in graphs of functions in complex industrial systems

• Auteur / Autrice : Adrien Touboul
• Direction : Bernard Lapeyre
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 21/07/2021
• Etablissement(s) : Marne-la-vallée, ENPC
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre d'enseignement et de recherche en mathématiques et calcul scientifique (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne)
• Jury : Président / Présidente : Anthony Nouy
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bernard Lapeyre, Bertrand Iooss, Thierry Klein, Julien Reygner, Claudia Eckert, Guillaume Obozinski
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Bertrand Iooss, Thierry Klein

Mots clés

Mots clés contrôlés

Génie industriel

Modèles mathématiques

Variables aléatoires

Graphes orientés

Mots clés libres

Propagation d'incertitudes

Graphe de modèles

Quantification d'incertitude

Graphe de fonctions

Modèle de marge

Analyse de sensibilité

Uncertainty propagation

Graph of models

Uncertainty quantification

Graphs of functions

Model of margin

Sensitivity analysis

Résumé

Cette thèse porte sur deux problèmes qui sont motivés par la simulation de systèmes industriels complexes durant les processus de conception.La première partie est dédiée à la modélisation et l’identification des marges de conception coûteuses. Le premier défi est d’arriver à unifier les pratiques de marge dans des disciplines d'ingénierie différentes. Pour cela, nous nous intéressons à ce qu’il y a de plus fondamental dans le concept de marge et nous proposons un objet mathématique pour le modéliser, que nous appelons "modèle de marge". Avec cet objet, nous pouvons décrire la façon dont une marge "est prise" pour couvrir des risques, indépendamment du domaine considéré. Nous nous concentrons ensuite sur les façons dont les pratiques de marges peuvent être décrites par le modèle de marge. Enfin, nous développons des outils, inspirés des pratiques d’analyse de sensibilité, pour identifier les marges qui contribuent le plus à un coût ou à une perte en performance. Ces travaux permettent d’effectuer une analyse quantitative de marges, de façon non ambigue et ils ouvrent un certain nombre de perspectives pour la modélisation de problèmes de conception qui incluent des marges.La seconde partie se concentre sur la quantification d'incertitude dans un contexte multidisciplinaire. Le processus de conception est modélisé par la composition de codes de simulation, représentée par un graphe orienté acyclique avec une fonction associée à chaque noeud. Les entrées de chaque code sont des variables aléatoires qui peuvent soit venir de la sortie d'autres disciplines (variables externes), soit être modélisées par la discipline (variables internes). La méthode étudiée se base sur la repondération d'échantillons et permet d'atteindre une "autonomie des disciplines". Dans un premier temps, à chaque noeud et pour chaque variable externe, des échantillons synthétiques qui ne suivent pas la vraie loi, sont générés et leur sorties sont calculées. Dans un second temps, une méthode de pondération permet de donner des poids aux sorties synthétiques, en fonction de nouvelles entrées. Le résultat final de la méthode est un échantillon synthétique pondéré, dont la loi approche la loi jointe théorique. Nous commençons par étudier l'efficacité d'une méthode de pondération particulière, basée sur la minimisation d'une distance de Wasserstein. Pour ce problème, nous trouvons une expression explicite des poids, en terme de plus proche voisin. À partir de cette expression, nous démontrons la consistance de la méthode et trouvons des taux de convergence théoriques, en terme d'espérance de la distance de Wasserstein. Ensuite, nous nous concentrons sur la propagation de poids dans le graphe. Nous définissons tout d'abord une famille de méthodes de pondération, que nous appelons WLAMs , pour lesquelles nous établissons un critère de convergence local. Sous l'hypothèse que la consistance locale est vérifiée à chaque noeud, nous démontrons la convergence globale de la méthode vers la vraie loi du graphe. Finalement, nous définissons un réseau bayésien discret, qui permet de simplifier les calculs numériques dans la partie de propagation des poids. Cette méthode est appliquée sur un cas industriel

This thesis focuses on two problems motivated by simulation in industrial complex systems design. The first part is dedicated to model and to identify costly design margins during the design process. A first challenge is to have a unified model for all the margin practices. To achieve this goal, we investigate the fundamental basis of the margin concept and provide a mathematical object to model it. With this model, we exhibit how margins are taken, independently of the field. Then, various margin practices from different engineering fields are modeled within this framework. Finally, some tools are developed, inspired from the sensitivity analysis domain, to identify which margins contribute the most to a cost or to a loss of performance. These works thus propose a non ambiguous approach to a quantitative analysis of margins and open a broad range of perspectives to model design problems that include margins.The second part studies an approach to uncertainty quantification in a multidisciplinary context. The design process is modeled by the composition of computer codes, that is represented by a directed acyclic graph with a function associated to each node. The inputs of each code are random variables, that can either come from the outputs of other disciplines (external variable) or be modeled by the discipline (internal variable). The method investigated is based on sample reweighting and allows for disciplinary autonomy. First, at each node and for each external variable, some synthetic samples that do not follow the true law are generated and the respective outputs are computed. Second, a method is chosen to weight to outputs with respect to the inputs, and these weights are propagated to the graph. The final result is a weighted sample whose law approximates the true joint law of the random variables. We begin our study by investigating the efficiency of a particular weighting method, based on a Wasserstein distance criterion. We derive an explicit version of the weights in terms of Nearest-Neighbor, we prove the consistency and derive some theoretical rates of convergence in terms of expected Wasserstein distance. Then, we concentrate on the propagation of the weights. We first define a family of weighting methods, that we call WLAMs (Weighted Linear Approximation Methods), for which we establish a local consistency criterion. Under the assumption of local consistency at each node, we prove the convergence towards the true joint law in the whole graph. Finally, we explicitly define a discrete Bayesian network that simplifies numerical computations in the propagation part and apply it to an industrial case