Groupes aux coupures modérées

Groups with tame cuts

• Auteur / Autrice : Bat-Od Battseren
• Direction : Indira Lara Chatterji
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 30/06/2021
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice)
• Jury : Président / Présidente : François Gautero
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Indira Lara Chatterji, François Gautero, Mikael De La Salle, Laurent Saloff-Coste, Claire Anantharaman, Maria Paula Gómez Aparicio
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Mikael De La Salle, Laurent Saloff-Coste

Mots clés

Mots clés contrôlés

Multiplicateurs (analyse mathématique)

Algèbres de groupes

Groupes localement compacts

Mots clés libres

Groupes localement compacts

Algèbres de groupe

Multiplicateurs de Fourier

Moyennabilité faible

Propriété de décroissance rapide

Coupures modérées

Locally compact groups

Group algebras

Fourier multipliers

Weak amenability

Rapid decay property

Tame cuts

Résumé

Dans cette thèse, nous étudierons quatre types de suites de fonctions continues à support compact sur un groupe localement compact, à savoir les coupures modérées [caractéristiques] (complètement bornées), et leurs croissances dans l'algèbre de Banach des multiplicateurs de Fourier (complètement bornés). Cette nouvelle notion étend la moyennabilité faible et la propriété de décroissance rapide. L'objectif principal est de fournir des exemples de groupes admettant ou pas ce type de suites, à l'aide d'outils analytiques, algébriques et géométriques.Nous démontrons que les groupes de Baumslag-Solitar BS(p, q) et certains groupes métabéliens de type fini, dont le groupe de l'allumeur de réverbères, admettent des coupures modérées caractéristiques complètement bornées. Ceci est réalisé en montrant que l’existence de coupures modérées [caractéristiques] (complètement bornées) est stables par extension par un groupe à croissance polynomiale. Nous proposerons également une méthode pour construire un groupe de type fini sans coupures modérées en utilisant la propriété (T Schur, G, K).De plus, nous proposerons deux résultats comme applications de coupures modérées. Le premier résultat montre que tout réseau uniforme dans SL(3, R) admet un multiplicateur de Fourier qui n'est pas complètement borné. Ceci fournit un exemple à l'appui de la question ouverte : La moyennabilité d'un groupe discret Γ est-elle caractérisée par le fait que tous les multiplicateurs de Fourier de Γ sont complètement bornés ? Le deuxième résultat est lié à l'application d'induction de McbA(Γ) dans McbA(G) qui est contractante pour tout groupe localement compact G et son réseau Γ. En particulier, lorsque G (ou Γ) est moyennable, l'application d'induction de MA(Γ) dans MA(G) est contractante. Nous démontrerons que la moyennabilité de G est essentielle pour la continuité de cette dernière application.

In this thesis, we will study four types of sequences of compactly supported continuous functions on a locally compact group, namely (completely bounded) [characteristic] tame cuts, and their growth in the Banach algebra of (completely bounded) Fourier multipliers. This new notion extends weak amenability and Rapid Decay property. The main goal is to provide examples of groups admitting or not-admittingsuch kind of sequences using analytic, algebraic, and geometric tools.We will prove in particular that the Baumslag-Solitar groups BS(p, q) and some finitely generated metabelian groups, including the Lamplighter group, admit completely bounded characteristic tame cuts. This is achieved by showing that the existence of (completely bounded) [characteristic] tame cuts is stable under extension by a group with polynomial growth. We will also propose a method to construct a finitely generated group without tame cuts using property (T Schur, G, K).In addition, we will propose two results as an application of tame cuts. The first one states that any uniform lattice in SL(3, R) admits a Fourier multiplier that is not completely bounded. This provides a supporting example to the following open question: “Is amenability of a discrete group Γ characterized by the fact that all Fourier multipliers of Γ are completely bounded?” The second application is related to the induction mapping from McbA(Γ) into McbA(G) which is known to be norm decreasing for any locally compact group G and any of its lattice Γ. In particular, when G (or Γ) is amenable, the induction mapping from MA(Γ) into MA(G) is continuous. We will show that the amenability of G is essential for the continuity of the latter mapping.