Invariants des variations infinitésimales de structures de Hodge et géométrie des surfaces de type général

Infinitesimal invariants of variations of Hodge structures and geometry of surfaces of general type

• Auteur / Autrice : Axel Supersac
• Direction : Igor Reider
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 16/12/2021
• Etablissement(s) : Angers
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Angevin de Recherche en Mathématiques / LAREMA
• Jury : Président / Présidente : Vladimir Roubtsov
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ekaterina Amerik
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Samuel Boissière, Philippe Eyssidieux

Mots clés

Mots clés contrôlés

Hodge, Théorie de

Théorème de Torelli

Mots clés libres

Problèmes de Torelli

VISH

Quintiques de Togliatti

Torelli problem

IVHS

Togliatti Quintics

Résumé

Si X est une variété complexe projective, on peut lui associer des données cohomologiques (comme par exemple ses groupes de cohomologie singulière, sa décomposition de Hodge, etc. . .). Si on arriveà tirer assez d’informations géométriques de ces données pour reconstruire X, on dit que l’on a résolu un problème de type-Torelli. Dans le problème de Torelli infinitésimal, on se donne comme données de départ les informations encodées par la différentielle de l’application des périodes. Ces données sont notées V ISH(X). L’objectif est de retrouver X à partir de V ISH(X). En 1983, R. Donagi montre que si X est une hypersurface lisse générique, V ISH(X) détermine X. Cette thèse montre un résultat semblable où cette fois la variété étudiée est une surface quintique singulière de P3 : la quintique de Togliatti, Σ5. Cette quintique possède le nombre maximal de nœuds (= 31) qu’une telle surface peut admettre (A.Beauville, 1979). On montre que si X est la résolution minimale de Σ5, V ISH(X) détermine les 31 nœuds de Σ5. Par ailleurs, ces nœuds sont dans une configuration spéciale que l’on peut lire dans V ISH(X). Cela détermine Σ5, c’est-à-dire que l’on montre un théorème de type Torelli pour la quintique de Togliatti

Let X be a complex projective manifold. One can associate to X its cohomological data (for instance, its singular cohomological groups, its Hodge decomposition, etc...). When it is possible to extract enough geometric information from these data to recover X, one says that a Torelly-type theorem holds. For the infinitesimal Torelli-type problem, one is given the information encoded by the differential of the period map. These data are IV HS(X). The aim is to recover X from IV HS(X). In 1983, R. Donagi shows that if X is a generic smooth hypersurface then IV HS(X) determines X. This thesis shows a similar result for a singular quintic surface in P P 3 : the Togliatti quintic, Σ5. This quintic has 31 nodes. This is the maximal number of ordinary double-points a quintic surface in P3 canhave. We show that if X is the minimal resolution of Σ5, IV HS(X) determines the double points. These double-points are in a specialconfiguration which can be read in IV HS(X). This determines Σ5, i.e. we show a Torelli type theorem for the Togiatti quintic.