The Painlevé II hierarchy : geometry and applications
La hiérarchie de Painlevé II : géométrie et applications
Résumé
The Painlevé II hierarchy is a sequence of nonlinear ODEs, with the Painlevé II equation as first member. Each member of the hierarchy admits a Lax pair in terms of isomonodromic deformations of a rank 2 system of linear ODEs, with polynomial coefficient for the homogeneous case. It was recently proved that the Tracy-Widom formula for the Hastings-McLeod solution of the homogeneous PII equation can be extended to analogue solutions of the homogeneous PII hierar-chy using Fredholm determinants of operators acting through higher order Airy kernels. These integral operators are used in the theory of determinantal point processes with applications in statistical mechanics and random matrix theory. From this starting point, this PhD thesis explored the following directions. We found a formula of Tracy-Widom type connecting the Fredholm determinants of operators acting through matrix-valued analogues of the higher order Airy kernels withparticular solution of a matrix-valued PII hierarchy. The result is achieved by using a matrix-valued Riemann-Hilbert problem to study these Fredholm determinants and by deriving a block-matrix Lax pair for the relevant hierarchy. We also found another generalization of the Tracy-Widom formula, this time relating the Fredholm determinants of finite-temperature versions of higher order Airy kernels operators to particular solutions of an integro-differential PII hierarchy. In this setting, a suitable operator-valued Riemann-Hilbert problem is used to study the relevant Fredholm determinant. The study of its solution produces in the end an operator-valued Lax pair that naturally encodes an integro-differential Painlevé II hierarchy. From a more geometrical point of view, we analyzed the Poisson-symplectic structure of the monodromy manifolds associated to a system of linear ODEs with polynomial coefficient, also known as Stokes manifolds. For the rank 2 case, we found explicit log canonical coordinates for the symplectic 2-form, forming a cluster algebra of specific type. Moreover, the log-canonical coordinates constructed in this way provide a linearization of the Poisson structure on the Stokes manifolds, first introduced by Flaschka and Newell in their pioneering work of 1981
La hiérarchie de Painlevé II est une séquence d’équations différentielles ordinaires non linéaires, dont la première correspond à l’équation de Painlevé II. Chaque membre de la hiérarchie admet une paire de Lax en terme des déformations isomonodromiques d’un système linéaire d’EDO de rang 2, avec coefficient po- lynomial dans le cas homogène. Récemment, il a été prouvé que la formule de Tracy-Widom pour la solution Hastings-McLeod de l’équation de PII homogène peut être généralisé pour des solutions analogues de la hiérarchie de Painlevé II homogène, en utilisant le déterminant de Fredholm des noyaux d’Airy d’ordre supérieur. Leurs opérateurs intégrales sont utilisés en théorie des processus déterminantaux et ils ont des applications en physique statistique et en théorie des matrices aléatoires. En partant de ces considérations, cette thèse a exploré les directions suivantes. On a trouvéune formule à la Tracy-Widom qui relit des analogues à valeurs matricielles des noyaux d’Airy d’ordre supérieur à certaines solutions d’une hiérarchie de Painlevé II matricielle. Pour ce-là on a utilisé un problème de Riemann-Hilbert à valeurs matriciels et en utilisant sa solution on a dérivé une paire de Lax pour la hiérarchie. On a aussi trouvé une autre généralisation de la formule de Tracy-Widom, où cette fois ci le déterminant de Fredholm d’une version à température finie des noyaux d’Airy d’ordre supérieur est liée à certaines solutions d’une hiérarchie de PII intégro-différentielle. Dans ce cas, on a plutôt utilisé un problème de Riemann-Hilbert à valeurs opératoriels. Sa solution permet de construire une paire de Lax pour cette nouvelle hiérarchie. D’un point de vue plus géométrique, on a étudié la structure de Poisson-symplectique des variétés de Stokes associées à un système de équations différentielles ordinaires linéaires avec coefficient polinomial. Dans le cas de rang 2, on a trouvé des coordonnés log-canoniques explicites pour la 2-form symplectique, formant une algèbre ammassées d’un type précis. Cette construction permet de linéariser la structure de Poisson introduite par Flaschka et Newell dans leur travail fondateur en 1981
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