Dynamique spatiale dans des modèles de réaction-diffusion

Spatial dynamics of reaction-diffusion models

• Auteur / Autrice : Mingmin Zhang
• Direction : François Hamel, Xing Liang
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 28/09/2021
• Etablissement(s) : Aix-Marseille en cotutelle avec University of science and technology of China
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Jury : Président / Présidente : Philippe Souplet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Yaping Wu, Yuan Lou, Guillemette Chapuisat
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Arnaud Ducrot, Xuefeng Wang

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mouvement ondulatoire, Théorie du

Cauchy, Problème de

Analyse numérique

Équations aux dérivées partielles

Mathématiques

Mots clés libres

Équations aux dérivées partielles

Réaction-Diffusion

Fronts pulsatoires

Fronts de transition

Vitesse de propagation

Phénomènes de propagation

Partial differential equations

Reaction-Diffusion

Pulsating fronts

Transition fronts

Spreading speeds

Propagation phenomena

Résumé

Cette thèse s'intéresse aux fronts progressifs et aux phénomènes de propagation des EDP non linéaires apparaissant en physique, biologie, sciences médicales, etc. Les principaux résultats sont les suivants. Pour un modèle de flamme prémélangée avec une cinétique à température d'ignition différente de la cinétique classique d'Arrhenius, on considère la stabilité d'onde progressive lorsque le nombre de Lewis est grand, et nous avons démontré l'existence l'existence d'une bifurcation de Hopf. Pour des modèles de type champ-route, nous montrons dans un habitat spatialement périodique l'existence d'une vitesse de propagation qui s'avère être la vitesse minimale des fronts pulsatoires. Nous étudions le problème elliptique de ce modèle et montrons l'existence de solutions faibles non triviales dans les domaines bornés et non bornés. Pour les équations bistables dans les domaines en forme d'entonnoir, nous montrons également que toute solution se propageant complètement est un front de transition et qu'elle converge en temps grand dans la partie conique vers un front courbe dont la position est approchée par des sphères de rayons de plus en plus grands. Nous fournissons des conditions suffisantes, sous lesquelles la solution se bloque ou se répand complètement. Pour le ``patch model'' avec de conditions de couplage aux interfaces, nous établissons dans un habitat spatialement périodique le caractère bien posé du problème de Cauchy et les propriétés de propagation de la solution. Nous étudions un modèle constitué de deux milieux homogènes dans R et étudions les phénomènes de propagation des solutions au problème de Cauchy dans différents paramètres de réaction

This dissertation is concerned with traveling fronts and propagation phenomena of nonlinear PDEs arising in physics, biology and medical science, etc. The main results are as following. For a premixed flame model with an ignition temperature kinetics different from the classical Arrhenius kinetics, we investigate the stability of the traveling wave when the Lewis number is large, and we prove the existence of a Hopf bifurcation. For the field-road model, we show in spatially periodic environments the existence of asymptotic spreading speed which turns out to be the minimal speed of pulsating traveling waves, and we also prove the existence of nontrivial weak solutions to the elliptic problem in bounded and unbounded domains. For bistable equations in funnel-shaped domains, we show that any spreading solution is a transition front, and that its level sets at large times can be approximated by expanding spheres. Moreover, we provide sufficient conditions, under which the solution is blocked or spreads completely. For the one-dimensional patchy model with special interface conditions, we establish the well-posedness for the Cauchy problem in spatially periodic case and then investigate the propagation properties of the solution. Then, we consider a two patchy model in \mathbb{R} and study the propagation phenomena of solutions to the Cauchy problem in different reaction settings