Limites d'ensembles quasiminimaux et existence d'ensembles minimaux sous contraintes topologiques

Limits of quasiminimal sets and existence of minimal sets under topological constraints

• Auteur / Autrice : Camille Labourie
• Direction : Guy David
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 06/01/2020
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : référent : Université Paris-Saclay. Faculté des sciences d’Orsay (Essonne ; 2020-....)
• Jury : Président / Présidente : Benoît Merlet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Thierry De Pauw, Guido De Philippis, Blanche Buet, Antoine Lemenant, Antonio De Rosa
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Thierry De Pauw, Guido De Philippis

Mots clés

Mots clés contrôlés

Surfaces minimales

Calcul des variations

Mesure géométrique, Théorie de la

Plateau, Problème de

Mots clés libres

Problème de Plateau

Théorie géométrique de la mesure

Calcul des variations

Ensembles minimaux

Plateau problem

Geometric measure theory

Variation calculus

Minimal sets

Résumé

Au dix-neuvième siècle, Joseph Plateau a décrit la disposition géométrique des films de savons. Leur forme s'explique par leur tendance à minimiser leur aire pour atteindre une position d'équilibre. Les mathématiciens ont abstrait le concept de «surface d'aire minimale s'appuyant sur un bord» et ont nommé le problème de minimisation correspondant, «problème de Plateau». Il fait l'objet de différentes formulations qui correspondent à autant de façons de définir la classe des «surfaces bordées par une frontière fixée» et «l'aire» à minimiser. Dans cette thèse, on généralise aux suites quasiminimisantes, la limite faible de suites minimisantes introduite par De Lellis, De Philippis, De Rosa, Ghiraldin et Maggi. On montre qu'une limite faible d'ensembles quasiminimaux est quasiminimal. Ce résultat est analogue au théorème de passage à la limite de David pour la convergence de Hausdorff locale. Notre démonstration est inspirée par celle de David tout en étant plus simple. On déduit une méthode directe pour prouver l'existence de solutions à divers problèmes de Plateau, même avec une frontière libre. On l'applique ensuite à deux variantes du problème de Reifenberg (frontière libre ou fixe) pour tous les groupes de coefficient. D'autre part, on propose une structure pour construire des projections de Federer-Fleming ainsi qu'une nouvelle estimation sur le choix des centres de projection.

In the nineteenth century, Joseph Plateau described the geometrical disposition of soap films. Their shape is explained by their tendency to minimize their area to a reach an equilibrium. Mathematicians have abstracted the concept of "surface with minimal area spanning a boundary" and have named the corresponding minimization problem, "Plateau problem". It has different formulations corresponding to as many ways of defining the class of "surfaces spanning a given boundary" and the "area" to minimize. In this thesis, we generalize to quasiminimizing sequences, the weak limit of minimizing sequences introduced by De Lellis, De Philippis, De Rosa, Ghiraldin and Maggi. We show that a weak limit of quasiminimal sets is quasiminimal. This result is analogous to the limiting theorem of David for the local Hausdorff convergence. Our proof is inspired by David's one while being simpler. We deduce a direct method to prove existence of solutions to various Plateau problem, even with a free boundary. We apply it then to two variants of the Reifenberg problem (fixed or free boundary) for all coefficient groups. Furthermore, we propose a structure to build Federer-Fleming projections as well as a new estimate on the choice of projection centers.