Diagonales de fractions rationnelles en physique

أقطار الدوال النسبية فى الفيزياء

Diagonals of rational functions in physics

• Auteur / Autrice : Youssef Abdelaziz
• Direction : Jean-Marie Maillard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance le 18/09/2020
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Physique en Île-de-France (Paris ; 2014-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de physique théorique de la matière condensée (Paris ; 1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Catherine Goldstein
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Alin Bostan, Christoph Koutschan
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Julien Roques, Kilian Raschel

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie algébrique

Fonctions hypergéométriques

Équations différentielles

Physique mathématique

Mots clés libres

Diagonales de fractions rationnelles

Conjecture de Christol

Fonction hypergéométrique

Fonction de Heun

Histoire des diagonales de fractions rationnelles

Création téléscopique

Modèle d'Ising

Courbe de Shimura

Mathématiques expérimentales

Diagonals of rational functions

Christol's conjecture

Hypergeometric function

Heun function

History of diagonals of rational functions

Creative telescoping

Résumé

Nous étudions les séries à coefficients entiers solutions d’équations différentielles linéaires. Nous nous concentrons sur les diagonales de fractions rationnelles liées à la physique théorique et à la combinatoire énumérative, correspondant à des fonctions hypergéométriques ou à des fonctions de Heun. Ces fonctions hypergéométriques ou de Heun, obtenues par la méthode dite de création télescopique, se sont avérées être dans tous les cas correspondre à des formes modulaires ou des carrés de formes modulaires, voire des dérivées de formes modulaires. Une approche de géométrie algébrique effective nous a permis une compréhension profonde, et intrinsèque, de l'émergence de telles fonctions remarquables. Les méthodes de création télescopique nous ont enfin permis d'avancer dans la compréhension de la validité de la conjecture avancée par Gilles Christol dans les années 1980. En particulier, nous avons pu montrer que certains contre-exemples potentiels à cette conjecture correspondaient bien, en fait, à des diagonales de fractions rationnelles.

We study integer coefficient series that are solution of linear differential equations. We focus on diagonals of rational functions related to theoretical physics and enumerative combinatorics. These diagonals correspond to hypergeometric functions or Heun functions. These hypergeometric and Heun functions, are obtained using the method of creative telescoping. We show that these hypergeometric and Heun functions are in fact modular forms, or squares of modular forms, and in some cases derivatives of modular forms. Using algebraic geometry, we were able to understand some of the reasons behind the emergence of these functions, in the context of diagonals of rational functions. The creative telescoping method also allowed us also to understand better the validity of the conjecture advanced by Christol in the 80's. In particular, we were able to show several potential counter-examples to this conjecture corresponded in fact to diagonals of rational functions.