Matrices aléatoires et graphes aléatoires

Random matrices and random graphs

• Auteur / Autrice : Nathan Noiry
• Direction : Nathanaël Enriquez, Laurent Ménard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées et applications mathématiques
• Date : Soutenance le 08/10/2020
• Etablissement(s) : Paris 10
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Connaissance, langage, modélisation (Nanterre)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Modal'X (Nanterre). Université Paris Nanterre - Modal'X (Nanterre). Université Paris Nanterre
• Jury : Président / Présidente : Francis Comets
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nathanaël Enriquez, Laurent Ménard, Francis Comets, Christina Goldschmidt, Justin Salez, Anne-Laure Basdevant, Maxime Février
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Christina Goldschmidt, Justin Salez

Mots clés

Mots clés contrôlés

Graphes aléatoires

Stieltjes, Intégrales de

Matrices aléatoires

Mots clés libres

Matrices aléatoires

Graphes aléatoires

Modèle de configuration

Processus de renouvellement

Transformée de Stieltjes

Stieltjes transform

Renewal processes

Configuration model

Random graphs

Random matrices

Résumé

Cette thèse se compose de plusieurs travaux ayant trait à la théorie des matrices aléatoires et à la théorie des graphes aléatoires. Dans le contexte des matrices aléatoires, un premier travail porte sur l'étude spectrale des matrices de Wishart dont la taille tend vers l'infini et dont les moments des coefficients explosent. Dans ce cadre, nous calculons un développement asymptotique de la limite des mesures spectrales empiriques au voisinage de la loi de Marchenko-Pastur. Dans un second travail, nous nous sommes intéressés aux modèles matriciels déformés. Nous démontrons que l'étude des mesures spectrales dans la direction des vecteurs propres des matrices de perturbation apporte de nombreuses informations sur le spectre de ces modèles, notamment sur les coordonnées des vecteurs propres. Enfin, dans un troisième travail, nous exploitons un outil classique de la théorie des matrices aléatoires -- la transformée de Stieltjes -- afin d'identifier une classe soluble de processus de renouvellement. Les deux autres contributions de cette thèse concernent la géométrie des modèles de configuration, (multi)-graphes aléatoires dont la suite des degrés est décidée à l'avance. Dans le régime sur-critique, nous nous sommes intéressés à l'analyse de l'algorithme de parcours en profondeur et à l'une de ses variantes, alternant entre parcours en profondeur et parcours en largeur. Nous démontrons qu'après une mise à l'échelle adéquate, les processus de contour associés à ces algorithmes convergent vers des profils déterministes, établissant en particulier l'existence de chemins simples de longueur linéaire, et l'existence de cycles de longueur linéaire ne possédant pas de raccourci à courte portée.

This thesis consists of several works related to the theory of random matrices and the theory of random graphs. In the context of random matrices, a first work concerns the spectrum of Wishart matrices whose size tends to infinity and whose entries have exploding moments. In this setting, we compute an asymptotic expansion of the limit of the empirical spectral measures in the vicinity of the Marchenko-Pastur law. In a second work, we were interested in deformed matrix models. We prove that the study of spectral measures in the direction of the eigenvectors of the perturbation matrices brings a lot of information on the spectrum of these models, in particular on the coordinates of the eigenvectors. Finally, in a third work, we exploit a classical tool of random matrix theory -- the Stieltjes transform -- in order to identify a solvable class of renewal processes.The two other contributions of this thesis concern the geometry of configuration models, which are (multi)-random graphs whose sequence of degrees is fixed. In the supercritical regime, we study the depth first search algorithm and one of its variants, which alternates between depth first and breadth first search. We prove the convergence of the renormalized contour processes associated with these algorithms to deterministic profiles, establishing in particular the existence of simple paths of linear length, and the existence of cycles of linear length without shortcut at short range.