Spectre ordonné et branches analytiques d'une surface qui dégénère sur un graphe

Ordered spectrum and analytical branches of a surface degenerates on a metric graph

• Auteur / Autrice : Franchel Gatse
• Direction : Luc Hillairet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 11/09/2020
• Etablissement(s) : Orléans
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Denis Poisson (Orléans, Tours ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Emmanuel Humbert
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Emmanuel Humbert, Colette Anné, Gérard Besson, Thomas Ourmières-Bonafos
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Colette Anné, Gérard Besson

Mots clés

Mots clés contrôlés

Surfaces (mathématiques)

Géométrie de Riemann

Théorie spectrale (mathématiques)

Mots clés libres

Géométrie spectrale

Surfaces de translation

Surfaces à petits carreaux

Perturbations analytiques

Graphe métrique

Perturbations singulières

Spectral Geometry

Translation surfaces

Square-tiled surfaces

Analytic perturbations

Metric graph

Singular perturbations

Résumé

Dans ce travail, nous donnons un cadre général de surfaces riemanniennes qui dégénèrent sur des graphes métriques que nous appelons surfaces décomposables en cylindres et en jonctions. Les surfaces décomposables en cylindres et en jonctions dépendent d’un paramètre t qui traduit le mécanisme d’écrasement sur le graphe. Quand le paramètre t tend vers 0, les circonférences des cylindres tendent vers 0 et leurs longueurs restent fixes. On obtient ainsi les arêtes du graphe limite. Les jonctions, elles, sont écrasées dans toutes les directions et donc dégénèrent sur les sommets du graphe limite. Nous étudions alors le comportement asymptotique du spectre de ces variétés lors de cette déformation. Nous adoptons les points de vue de la convergence des valeurs propres ordonnées et de celle des branches analytiques. Ces deux approches sont fondamentalement différentes. Le cas des valeurs propres ordonnées est assez classique et nous retrouvons la convergence vers le spectre du graphe limite. L’étude des branches analytiques est plus original. Nous montrons la convergence et donnons une caractérisation des limites possibles. Ces résultats s’appliquent dans le cas des surfaces de translations qui possèdent une direction complètement périodique.

In this work, we give a general framework of Riemannian surfaces that can degenerate on metric graphs and that we call surfaces made from cylinders and connecting pieces. The latter depend on a parameter t that describes the degeneration. When t goes to 0, the waists of the cylinders go to 0 but their lengths stay fixed. We thus obtain the edges of the limiting graph. The connecting pieces are squeezed in all directions and degenerate on the vertices of the limiting graph. We then study the asymptotic behaviour of the spectrum of these surfaces when t varies from two different points of view, considering the spectrum either as a sequence of ordered eigenvalues or as a collection of analytic eigenbranches. In the case of ordered eigenvalues, we recover a rather classical statement, and prove that the spectrum converges to the spectrum of the limiting object. The study of the analytic eigenbranches is more original. We prove that any such eigenbranch converges and we give a characterisation of the possible limits. These results apply to translation surfaces on which there is a completely periodic direction.