Coefficients en cohomologie de De Rham-Witt surconvergente

Coefficients in overconvergent De Rham-Witt cohomology

• Auteur / Autrice : Ruben Munoz Bertrand
• Direction : Daniel Caro
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 09/07/2020
• Etablissement(s) : Normandie
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, information et ingénierie des systèmes (Caen)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme (Caen ; 2002-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université de Caen Normandie (1971-....)
• Jury : Président / Présidente : Tobias Schmidt
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Daniel Caro, Andreas Langer, Christine Huyghe, Andréa Pulita, Jérôme Poineau
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Tobias Schmidt, Andreas Langer

Mots clés

Mots clés contrôlés

Cohomologie p-adique

Théorie des nombres

Géométrie algébrique

Géométrie algébrique arithmétique

Mots clés libres

Géométrie arithmétique

Algebraic geometry

Arithmetic geometry

Number theory

P-adic cohomology

Résumé

Deligne a défini dans les années 70 le complexe de De Rham-Witt, qui permit à Illusie de prouver un théorème de comparaison avec la cohomologie cristalline. Ce résultat fut ensuite étendu par Etesse aux coefficients. En 2004, Bloch démontra que le théorème de comparaison cohomologique étendu aux coefficients d'Etesse possédait une interprétation plus profonde : sous certaines conditions, on obtient en fait une équivalence de catégories entre des cristaux et des connexions de De Rham Witt.Plus récemment, Davis, Langer et Zink ont introduit un complexe de De Rham-Witt surconvergent et démontré des théorèmes de comparaison avec les cohomologies de Monsky-Washnitzer et rigide. Ces derniers furent ensuite étendus aux coefficients par Ertl, qui démontra notamment un quasi-isomorphisme de cohomologie avec les isocristaux surconvergents.On peut alors légitimement se demander si les résultats de Bloch possèdent une variante surconvergente : c'est-à-dire que l'on aimerait pouvoir obtenir une interprétation des isocristaux surconvergents pour la cohomologie de De Rham-Witt surconvergente. On peut y parvenir en considérant des connexions de De Rham-Witt surconvergentes comme définies par Ertl, pour lesquelles on peut raisonnablement espérer retrouver les mêmes opérations cohomologiques que pour les F-isocristaux.Cette question fut la motivation de cette thèse, et le théorème principal de ce travail y répond en partie positivement. Pour y parvenir, il est nécessaire d'expliciter la structure locale du complexe de De Rham-Witt surconvergent, et de redéfinir la notion de surconvergence afin de pouvoir mieux contrôler la convergence des produits de différentielles de De Rham-Witt.

Under a few assumptions, we prove an equivalence of category between a subcategory of F-isocristals on a smooth algebraic variety and overcongergent integrable De Rham-Witt connections. We do so by giving an equivalent definition of overconvergence, and by studying the explicit local structure of the De Rham-Witt complex.