Développement de mesures d'incertitudes pour le risque de modèle dans des contextes incluant de la dépendance stochastique

Development of uncertainty measures for model risk in contexts including stochastic dependence

• Auteur / Autrice : Kévin Elie-Dit-Cosaque
• Direction : Véronique Maume-Deschamps
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 13/11/2020
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon (2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Claude Bernard (Lyon ; 1971-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
• Jury : Président / Présidente : Anne-Laure Fougères
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Véronique Maume-Deschamps, Clémentine Prieur, Bertrand Michel, Andrés Cuberos, Bertrand Iooss
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Clémentine Prieur, Bertrand Michel

Mots clés

Mots clés contrôlés

Intervalles de confiance

Erreur

Modèles mathématiques

Statistique mathématique

Mots clés libres

Risque de modèle

Analyse de sensibilité

Indices de Shapley orientés quantile

Forêts aléatoires

Model risk

Sensitivity analysis

Goal oriented Shapley effects

Quantile oriented Shapley effects

Random forests

Résumé

La (ré)assurance utilise depuis longtemps différentes typologies de modèle pour évaluer les risques pour, par exemple, la tarification des contrats, le provisionnement ou encore pour calculer l’exigence de capital et la solvabilité. En tant que simplification ou approximation de la réalité, les modèles sont, par définition, soumis à de potentielles erreurs statistiques. En outre, une utilisation erronée des résultats d’un modèle peut mener à des résultats non conformes à la réalité. Par conséquent, il existe un risque inhérent au modèle mathématique en lui-même mais également à l’usage du modèle et de ses résultats. La littérature regroupe généralement ces deux grandes classes de risque, le risque structurel et le risque opérationnel, sous le terme de risque de modèle. Cette thèse s'intéresse aux outils développés dans le domaine de l'Analyse de Sensibilité afin de réaliser une quantification efficiente du risque de modèle structurel, et plus particulièrement le risque lié aux paramètres du modèle. Dans un premier temps, nous adaptons l'algorithme d'estimation des indices de Shapley basés sur la variance pour obtenir des intervalles de confiance en plus de l'estimation mais aussi pour accélérer le calcul des indices. Cela est réalisé en substituant le modèle initial (probablement coûteux en temps de calcul) par un métamodèle de krigeage et nous proposons un algorithme pour prendre en compte l'erreur de métamodélisation dans le calcul des intervalles de confiance. Dans un second temps, deux méthodes d'estimation des fonctions de répartition conditionnelles et des quantiles conditionnels, basées sur les forêts aléatoires, pour lesquelles nous montrons la consistance sont présentées. Reposant sur ces nouvelles stratégies, plusieurs méthodes d'estimation efficaces des indices de sensibilité basés sur les quantiles (QOSA) sont également proposées. Enfin, une étude théorique de ces indices a été réalisée. Il s'avère que leur interprétation peut être délicate en dehors des modèles additifs dans le cas d'entrées indépendantes et pour tout type de modèle en présence de dépendance stochastique entre les entrées. Afin de surmonter ces limitations, nous proposons des indices de Shapley subordonnés à une caractéristique de la sortie et, en particulier, des indices de Shapley orientés quantile. Ces derniers semblent prometteurs car ils donnent une interprétation claire de l'impact de chaque entrée sur le quantile de la sortie, pour tout type de modèle, à la fois dans le cas d'entrées indépendantes et dépendantes

(Re) insurance has long used different typologies of models to assess risks for, for example, pricing, reserving or to calculate the capital requirement. As a simplification or approximation of reality, models are, by definition, subject to potential statistical errors. In addition, misuse of model results can lead to results that are inconsistent with reality. Therefore, there is an inherent risk in the mathematical model itself but also in the use of the model and its results. The literature generally groups these two major classes of risk, structural risk and operational risk, under the term model risk. This thesis focuses on the tools developed in the field of Sensitivity Analysis in order to achieve an efficient quantification of the structural model risk, and more particularly the risk related to the model parameters. In a first step, we adapt the estimation algorithm of the variance-based Shapley effects to obtain confidence intervals in addition to the estimation but also to speed up the calculation of the indices. This is achieved by substituting the initial model (probably time-consuming) with a kriging metamodel and we propose an algorithm to take into account the metamodelling error in the calculation of the confidence intervals. In a second step, two methods for estimating conditional distribution functions and conditional quantiles, based on random forests, for which we show the consistency are presented. Based on these new strategies, several efficient estimation methods of the quantile-based sensitivity indices (QOSA) are also proposed. Finally, a theoretical study of these indices has been carried out. It turns out that their interpretation can be tricky outside of additive models in the case of independent inputs and for any type of model in the presence of stochastic dependence between inputs. To overcome these limitations, we propose Goal-oriented Shapley effects (GOSE) and, in particular, Quantile-oriented Shapley effects (QOSE). The latter seem promising because they give a clear interpretation of the impact of each input on the output quantile, for any type of model, for both independent and dependent inputs