Méthodes algébriques et combinatoires pour les problèmes de branchement en théorie des représentations

Algebraic and combinatorial methods in the branching problems in representation theory

• Auteur / Autrice : Duc-Khanh Nguyen
• Direction : Nicolas Ressayre, Kenji Iohara
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 25/09/2020
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon (2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Claude Bernard (Lyon ; 1971-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
• Jury : Président / Présidente : Jiang Zeng
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nicolas Ressayre, Kenji Iohara, Cédric Lecouvey, Stéphanie Cupit-Foutou, Florence Fauquant-Millet, Martina Lanini, Clélia Pech
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Cédric Lecouvey

Mots clés

Mots clés contrôlés

Schur, Fonctions de

Grassmann, Variétés de

Young, Tableaux de

Combinatoire algébrique

Analyse combinatoire

Kac-Moody, Algèbres de

Mots clés libres

Sous-algèbres sinueuses

Coefficients décalés Littlewood-Richardson

Règle de branchement

Lagrangiens

Variétés Schubert

Tableaux décalés

Coefficients décalés Littlewood-Richardson

Fonctions Schur-Q

Keywords: Affine Kac-Moody algebras, winding subalgebras, branching rule, Young tableaux, Schur functions, Littlewood-Richardson coefficients, tableau switching, Grassmannians, Schubert varieties, shifted tableaux, Schur Q-functions, shifted Littlewood-Richardson coefficients, Lagrangian Grassmannians

Résumé

Le but de cette thèse est d'étudier les questions entourant le problème de branchement en théorie des représentations à l'aide de méthodes algébriques et combinatoires. Sur la base des modèles et des idées des autres construits précédemment, nous développons et créons de nouvelles techniques, des modèles pour obtenir des résultats plus profonds. Concrètement, nous nous concentrons sur deux projets principaux : Dans le premier projet, nous étudions le problème de branchement des algèbres Kac-Moody affines g sur ses sous-algèbres sinueuses g[u] par des méthodes algébriques. Soit h la sous-algèbre Cartan de g. Nous prouvons que le support Gamma(g,g[u]) et Gamma(g,h) de la décomposition de g-modules en tant que g[u]-modules et h-modules sont des semi-groupes. Soit Lambda, lambda des poids entiers dominants de g, g[u], respectivement. Soit delta la racine imaginaire de base de g. Dans les cas où g est de type A_1^(1) et A_2^(2), avec une certaine condition sur lambda, nous pouvons décrire l'ensemble des nombres b tels que (Lambda, lamba + b delta) sont dans Gamma(g,g[u]). Le résultat nous aide à réaliser la relation entre Gamma(g,g[u]) et son paramètre saturé. Dans le deuxième projet, nous étudions les coefficients apparaissant dans la théorie de représentation projective des groupes de symétrique: les coefficients décalés de Littlewood-Richardson f_{lambda,mu}^nu (lambda, mu, nu sont des partitions strictes) et g_{lambda, mu} (lambda est une partition stricte et mu est une partition) qui peuvent être considérés comme des cas particuliers de coefficients Littlewood-Richardson décalés. Nous obtenons une nouvelle interprétation pour les coefficients f_{lambda,mu}^nu. De plus, pour les coefficients g_{lambda,mu}, nous obtenons également une autre description combinatoire, qui nous permet de voir les relations entre g_{lambda,mu} avec les coefficients Littlewood-Richardson c_{mu^t,mu}^{lambda~}. Plus précisément, nous prouvons que g_{lambda,mu} = g_{lambda,mu^t}, et c_{mu^t,mu}^{lambda~} n’est pas moins que g_{lambda,mu^t}. Nous conjecturons que c_{mu^t,mu}^{lambda~} n’est pas moins que le carré de g_{lambda,mu^t} et formulons quelques conjectures sur nos modèles combinatoires qui impliquent cette inégalité si cela est valable

The purpose of this thesis is to study the questions surrounding the branching problem in representation theory using algebraic and combinatorial methods. Based on previously built models and ideas of the others, we develop and create new techniques, models to achieve deeper results. Concretely, we focus on two main projects: In the first project, we study the branching problem of affine Kac-Moody algebras g on its winding subalgebras g[u] by algebraic methods. Let h be the Cartan subalgebra of h. We prove that the support Gamma(g,g[u]) and Gamma(g,h) of the decomposition g-modules as g[u]-modules and h-modules are semigroups. Let Lambda, lambda be dominant integral weights of g, g[u], respectively. In the cases where g are types A_1^(1) and A_2^(2), with a certain condition on lambda, we can describe the set of numbers b such that (Lambda, lamba + b delta) are in Gamma(g,g[u]). The result helps us to realize the relation between Gamma(g,g[u]) and its saturated setting. In the second project, we study the coefficients appear in projective representation theory of symmetric groups: the shifted Littlewood-Richardson coefficients f_{lambda,mu}^nu (lambda, mu, nu are strict partitions) and g_{lambda,mu} (lambda is a strict partition and mu is partition) which can be considered as special cases of shifted Littlewood-Richardson coefficients. We obtain a new interpretation for the coefficients f_{lambda,mu}^nu. Moreover, for the coefficients g_{lambda,mu}, we also obtain another combinatorial description, which allows us to see the relations between g_{lambda,mu} with Littlewood-Richardson coefficients c_{mu^t,mu}^{lambda~}. Specifically, we prove that g_{lambda,mu} = g_{lambda,mu^t}, and c_{mu^t,mu}^{lambda~} is not less than g_{lambda,mu}. We conjecture that c_{mu^t,mu}^{lambda~} is not less than the square of g_{lambda,mu} and formulate some conjectures on our combinatorial models which would imply this inequality if it is valid