Automates infinis et traces de Mazurkiewicz

Infinite automata and Mazurkiewicz traces

• Auteur / Autrice : Alexandre Mansard
• Direction : Christian Delhommé, Didier Caucal
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques - Informatique
• Date : Soutenance le 24/11/2020
• Etablissement(s) : La Réunion
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences, Technologies et Santé (Saint-Denis, La Réunion)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'informatique et de mathématiques (Saint-Denis, Réunion)
• Jury : Président / Présidente : Marianne Morillon
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sophie Tison, Victor Chepoi, Chloé Rispal
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Volker Diekert, Kamal Lodaya

Mots clés

Mots clés contrôlés

Automates

Arbres (théorie des graphes)

Petri, Réseaux de

Boole, Algèbre de

Traces, Théorie des

Mots clés libres

Automates infinis

Traces de Mazurkiewicz

Algèbres de Boole

Réseaux de Petri

Arbre de graphe

Accessibilité

Infinite automata

Mazurkiewicz traces

Boolean algebras

Petri nets

Graph tree

Reachability

Résumé

Nous introduisons la notion de régularité par niveaux pour des langages de traces de Mazurkiewicz et nous considérons des systèmes reconnaissables de réécriture de traces, à contextes réguliers par niveaux (RTL). Nous prouvons qu’un automate dont le graphe sous-jacent est le graphe de réécriture d’un système RTL et dont les ensembles de sommets initiaux et finaux sont réguliers par niveaux (automate RTL), est mot-automatique. En particulier, la théorie du premier ordre d’un automate RTL est décidable. Ensuite, nous prouvons que, enrichi de la relation d’accessibilité, un automate dont le graphe sous-jacent est déplié concurrent d’un graphe fini concurrent et dont les ensembles de sommets initiaux et finaux sont réguliers par niveaux, est RTL. En particulier, la théorie du premier ordre avec accessibilité d’un tel automate est décidable. Par ailleurs, il est bien connu que la théorie du premier ordre avec accessibilité du graphe de réécriture suffixe d’un système de réécriture de termes clos (graphe GTR) est décidable. Nous mettons en évidence divers dépliés concurrents de graphes finis concurrents qui ne sont pas des graphes GTR. L’arbre du quart de la grille infinie est un exemple de tel déplié. La classe des dépliés concurrents des graphes finis concurrents constitue ainsi une classe de DAG mot-automatiques, dont la théorie du premier ordre avec accessibilité est décidable et qui contient des graphes non GTR. Nous définissons pour les automates de traces (automates dont les sommets sont des traces de Mazurkiewicz) deux opérations que sont la synchronisation par niveaux et la superposition par niveaux et nous montrons que si une famille F d’automates de traces est fermée pour ces opérations, alors pour tout automate déterministe H 2 F, les langages acceptés par les automates déterministes de F qui sont longueur-réductibles en H forment une algèbre de Boole ; la longueur d’une trace étant donnée par la longueur de sa forme normale de Foata, un automate de traces G est longueur-réductible dans un automate de traces H, s’il existe un morphisme de G dans H préservant la longueur. Ensuite, nous montrons que la classe des automates suffixes de traces à contextes réguliers par niveaux, qui n’est que l’extension aux traces de Mazurkiewicz des automates suffixes de mots, satisfait ces propriétés de fermeture. Nous appelons réseau de Petri généralisé un automate suffixe de traces sur un alphabet de dépendance pour lequel la dépendance est réduite à l’égalité. Nous montrons alors que la sous-famille des réseaux de Petri généralisés satisfait également les propriétés de fermeture ci-dessus. Cela conduit notamment à 5 diverses algèbres de Boole de langages acceptés par des réseaux de Petri généralisés déterministes.

We introduce the notion of level-regularity for Mazurkiewicz trace languages and we consider recognizable trace rewriting systems with level-regular contexts (RTLsystem). We prove that an automaton for which the underlying graph is the rewriting graph of a RTL system and for which the sets of initial vertices and final vertices are level-regular (RTL automaton), is word-automatic. In particular, the first-order theory of a RTL automaton is decidable. Then, we prove that, enriched with thereachability relation, an automaton for which the underlying graph is the concurrent unfolding of a finite concurrent graph, and for which the sets of initial vertices and final vertices are level-regular, is RTL. In particular, the first-order theory with the reachability predicate of such an automaton is decidable. Besides, it is known that this property also holds for ground term rewriting graphs (GTR graph). We highlight various concurrent unfoldings of finite concurrent graphs that are not GTRgraphs. The infinite quarter grid tree is such an unfolding. The class of concurrent unfoldings of finite concurrent graphs is therefore a class of word-automatic graphs for which the first-order theory with the reachability predicate is decidable and that contains some non GTR graphs. We define the operations of level-length synchronization and level-length superposition of trace automata (automata for which vertices are Mazurkiewicz traces) and we prove that if a family F of trace automata is closed under these operations, then for any deterministic trace automaton H 2 F, the languages accepted by the deterministic trace automata belonging to F and that are length-reducible to H, form a Boolean algebra; the length of a trace being the length of its Foata normal form, a trace automaton G is length-reducible to a trace automaton H if there exists a length-preserving morphism from G to H. Then, we show that the family of trace suffix automata with level regular contexts, the extension of word suffix automata to Mazurkiewicz traces, satisfies these closure properties. We define a generalized Petri net as a trace suffix automaton over a dependence alphabet for which the dependence is reduced to the equality and we show that the subfamily of generalized Petri nets also satisfies the closure properties above. In particular, this yields various Boolean algebras of word languages accepted by deterministic generalized Petri nets.