Thèse soutenue

Arbres, laminations du disque et factorisations aléatoires
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Auteur / Autrice : Paul Thevenin
Direction : Igor Kortchemski
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques appliquées
Date : Soutenance le 22/06/2020
Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École polytechnique (Palaiseau, Essonne ; 1795-....)
Laboratoire : Centre de mathématiques appliquées (Palaiseau, Essonne)
Jury : Président / Présidente : Bénédicte Haas
Examinateurs / Examinatrices : Igor Kortchemski, Christina Goldschmidt, Jean-François Marckert, Philippe Biane, Gilles Schaeffer
Rapporteurs / Rapporteuses : Christina Goldschmidt, Jean-François Marckert

Mots clés

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Mots clés contrôlés

Résumé

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Cette thèse est consacrée à l'étude des propriétés asymptotiques de grands objets combinatoires aléatoires. Trois familles d'objets sont au centre des travaux présentés ici : les arbres, les factorisations de permutations et les configurations de cordes non croisées du disque (aussi appelées laminations).Dans un premier temps, nous nous intéressons spécifiquement au nombre de sommets de degré fixé dans des arbres de Galton-Watson que l'on a conditionnés de différentes façons, comme par exemple par leur nombre de sommets de degré pair ou leur nombre de feuilles. Lorsque la loi de reproduction de l'arbre est critique et dans le domaine d'attraction d'une loi stable, nous montrons notamment la normalité asymptotique de ces quantités. Nous nous intéressons également à la répartition de ces sommets de degré fixé dans l'arbre, lorsqu'on explore celui-ci de gauche à droite.Dans un second temps, nous considérons des configurations de cordes du disque unité qui ne se coupent pas, et montrons que l'on peut coder un arbre de manière naturelle par une telle configuration. Nous définissons en particulier une suite croissante de laminations codant une fragmentation d'un arbre donné, c'est-à-dire une manière de découper cet arbre en des points choisis aléatoirement. Ce point de vue géométrique nous permet ensuite d'étudier les propriétés d'une factorisation du cycle (1, 2,⋯, n) en un produit de n-1 transpositions, choisie uniformément au hasard, en la codant dans le disque par une lamination aléatoire et en remarquant un lien entre ce modèle et un arbre de Galton-Watson conditionné par son nombre total de sommets. Enfin, dans une dernière partie, nous présentons une généralisation de ces résultats à des factorisations aléatoires de ce même cycle, qui ne sont plus nécessairement en produits de transpositions mais peuvent faire intervenir des cycles de longueurs plus grandes. Nous mettons de cette façon en lumière un lien entre des arbres de Galton-Watson conditionnés, les factorisations de grandes permutations et la théorie des fragmentations.