Une approche motivique de l'énumération de fibrés vectoriels

Motivic Approach to Enumerating Vector Bundles

• Auteur / Autrice : Peng Du
• Direction : Jean Fasel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 21/07/2020
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 199.-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Frédéric Déglise
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Baptiste Calmès, Louis Funar
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Matthias Wendt, Kirsten Wickelgren

Mots clés

Mots clés contrôlés

K-théorie

Homotopie

Fibrés vectoriels

Mots clés libres

Fibrés vectoriels

K-Théorie

Théorie de l'homotopie motivique

Vector bundles

K-Theory

Motivic homotopy theory

Résumé

Dans ce travail, nous utilisons la théorie de l’obstruction en théorie homotopique des schémas pour obtenir certains résultats d’énumération de fibrés vectoriels sur des algèbres lisses de dimension d sur un corps k fixé. Dans un premier temps, nous énumérons les fibrés vectoriels de rang d sur ces algèbres, obtenant au passage de nouvelles preuves de certains théorèmes de Suslin et Bhatwadekar. Nous étudions ensuite les fibrés de rang d-1, prouvant au passage une conjecture de Suslin en admettant une conjecture de Asok et Fasel. Finalement, nous utilisons des méthodes similaires pour prouver des résultats de simplification pour des fibrés symplectiques de rang critique.

In this thesis, we establish, via obstruction theory in motivic homotopy theory, some enumeration results on vector bundles of rank dover a smooth affine k-algebra A of dimension d for a base field k, in analogy with some results of James-Thomas. In the rank d case, we recover in particular results of Suslin and Bhatwadekar on cancellation of such vector bundles. Admitting a conjecture of Asok and Fasel, we prove cancellation of such modules of rank d-1 if the base field k is algebraically closed. Using similar methods, we also obtain cancellation results for symplectic vector bundles of critical rank.