Réduction de modèles et apprentissage de solutions spatio-temporelles paramétrées à partir de données : application à des couplages EDP-EDO

par Tarik Fahlaoui

Thèse de doctorat en Mathématiques Appliquées et Problèmes Inverses : Laboratoire de Mathématiques Appliquées de Compiègne (Unité de recherche EA-2222)

Sous la direction de Florian de Vuyst.

Soutenue le 16-01-2020

à Compiègne , dans le cadre de École doctorale 71, Sciences pour l'ingénieur (Compiègne) , en partenariat avec Laboratoire de Mathématiques Appliquées de Compiègne / LMAC (laboratoire) .

mots clés

• Équation aux dérivées partielles paramétrées
• Data-driven
• Analyse spectrale
• Algorithme Kernel Ridge Regression (KRR)
• Réduction de modèles
• Équations aux dérivées partielles
• Décomposition orthogonale aux valeurs propres
• Décomposition (mathématiques)
• Interpolation (mathématiques)
• Ridge régression (statistique)
• Analyse de régression
• Réseaux neuronaux (informatique)
• Apprentissage automatique
• Systèmes dynamiques
• Algorithmes

Résumé

On s’intéresse dans cette thèse à l’apprentissage d’un modèle réduit précis et stable, à partir de données correspondant à la solution d’une équation aux dérivées partielles (EDP), et générées par un solveur haute fidélité (HF). Pour ce faire, on utilise la méthode Dynamic Mode Decomposition (DMD) ainsi que la méthode de réduction Proper Orthogonal Decomposition (POD). Le modèle réduit appris est facilement interprétable, et par une analyse spectrale a posteriori de ce modèle on peut détecter les anomalies lors de la phase d’apprentissage. Les extensions au cas de couplage EDP-EDO, ainsi qu’au cas d’EDP d’ordre deux en temps sont présentées. L’apprentissage d’un modèle réduit dans le cas d’un système dynamique contrôlé par commutation, où la règle de contrôle est apprise à l’aide d’un réseau de neurones artificiel (ANN), est également traité. Un inconvénient de la réduction POD, est la difficile interprétation de la représentation basse dimension. On proposera alors l’utilisation de la méthode Empirical Interpolation Method (EIM). La représentation basse dimension est alors intelligible, et consiste en une restriction de la solution en des points sélectionnés. Cette approche sera ensuite étendue au cas d’EDP dépendant d’un paramètre, et où l’algorithme Kernel Ridge Regression (KRR) nous permettra d’apprendre la variété solution. Ainsi, on présentera l’apprentissage d’un modèle réduit paramétré. L’extension au cas de données bruitées ou bien au cas d’EDP d’évolution non linéaire est présentée en ouverture.

mots clés

• Model order reduction
• Data-driven
• Parametrized PDEs
• Dynamic Mode Decomposition (DMD)
• Proper Orthogonal Decomposition (POD)
• Empirical Interpolation Method (EIM)
• Artificial Neural Network (ANN)
• Machine Learning
• Partial differential equations
• Dynamic systems
• Algorithms
• Spectral analysis

Titre traduit

Data-based learning of parametrized spatio-temporal solutions and model order reduction

Résumé

In this thesis, an algorithm for learning an accurate reduced order model from data generated by a high fidelity solver (HF solver) is proposed. To achieve this goal, we use both Dynamic Mode Decomposition (DMD) and Proper Orthogonal Decomposition (POD). Anomaly detection, during the learning process, can be easily done by performing an a posteriori spectral analysis on the reduced order model learnt. Several extensions are presented to make the method as general as possible. Thus, we handle the case of coupled ODE/PDE systems or the case of second order hyperbolic equations. The method is also extended to the case of switched control systems, where the switching rule is learnt by using an Artificial Neural Network (ANN). The reduced order model learnt allows to predict time evolution of the POD coefficients. However, the POD coefficients have no interpretable meaning. To tackle this issue, we propose an interpretable reduction method using the Empirical Interpolation Method (EIM). This reduction method is then adapted to the case of third-order tensors, and combining with the Kernel Ridge Regression (KRR) we can learn the solution manifold in the case of parametrized PDEs. In this way, we can learn a parametrized reduced order model. The case of non-linear PDEs or disturbed data is finally presented in the opening.