L’algorithme de Cauchy-Lagrange pour les écoulements axisymétriques et incompressibles d’Euler dans un domaine cylindrique borné : Exploration numérique de la perte de régularité des solutions des équations de l’hydrodynamique par des méthodes semi-Lagrangiennes d’ordres très élevés

The Cauchy-Lagrange algorithm for axisymmetric incrompressible Euler flow in a wall bounded cylindrical domain : Numerical exploration of regularity loss in the solutions to hydrodynamical equations by high-order semi-Lagrangian methods

• Auteur / Autrice : Tobias Hertel
• Direction : Nicolas Besse
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 04/12/2020
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Joseph-Louis Lagrange (Nice, Alpes-Maritimes ; 2012-....) - Observatoire de la Côte d'Azur
• Jury : Président / Présidente : Jérémie Bec
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nicolas Besse, Jérémie Bec, Rahul Pandit, Edriss Titi, Bérengère Dubrulle, Uriel Frisch, László Székelyhidi, Claude Bardos
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Rahul Pandit, Edriss Titi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mécanique des fluides

Euler, Équations d'

Mots clés libres

Algorithme de Cauchy-Lagrange

Écoulement axisymétrique

Équations d’Euler incompressible

Cylindre périodique

Blow-up

Singularité en temps fini

Cauchy-Lagrange algorithm

Axisymmetric flow

Incompressible Euler equations

Periodic cylinder

Blow-up

Finite time singularity

Résumé

À l'aide du nouvel algorithme de Cauchy-Lagrange (CLA) ce travail étudie un écoulement d'Euler incompressible, axisymétrique et périodique, confiné dans un domaine cylindrique, borné par une paroi dans la direction radiale. Des simulations très précises sont effectuées en vue de reconsidérer le résultat récent d'une possible singularité en temps fini (blow-up) pour un flot particulier dans cette géométrie. L'algorithme exploite l'analyticité temporelle des trajectoires des particules du champ de vitesse. Les coefficients de Taylor en temps des trajectoires satisfont des relations de récursion et sont obtenus en résolvant des problèmes de décomposition de Helmholtz-Hodge. Une approche pseudo-spectrale du type Chebyshev-Fourier est appliquée aux problèmes numériques dans un système aux coordonnées cylindriques tout en évitant une différenciation spectrale instable. Des méthodes pour le choix d'un pas de temps, fixe ou adaptatif, sont proposées et étudiées numériquement. Après l'insertion d'un pas de temps, les champs d'écoulement sont connus sur les trajectoires des particules dispersés dans une tranche du cylindre. Plusieurs méthodes d'interpolation sur une grille déformée sont considérées et comparées afin de trouver la meilleur façon de rétablir le flot sur la grille fixe qui donne la nouvelle condition initiale pour le mécanisme de récursion. L'implémentation du CLA présentée se révèle être précise, stable et rapide. L'absence de condition CFL rend le CLA plus performant que les algorithmes traditionnels. En effet, cette propriété permet de prendre des pas de temps plus large, ce qui réduit le nombre total d'itérations. Des tests approfondis sur les écoulements stationnaires et d'autres, non-stationnaires, sans vitesse angulaire sont effectués. Puis, des simulations avec des conditions initiales susceptibles de développer une singularité en temps fini, sont effectuées et analysées. Cette première mise en œuvre du CLA pour un domaine avec une paroi s'avère être un excellent outil pour résoudre les équations d'Euler incompressibles d'une manière rapide et précise dans une géométrie donnée.

Lagrange algorithm (CLA) for the incompressible Euler equations. Accurate simulations of periodic flow confined in a cylinder with walls are pursued in sight of a recently reported finite time singularity (blow-up) in this geometry. The algorithm exploits the time-analyticity of the particle trajectories of the velocity field. The time-Taylor coefficients of the trajectories fulfill recursion relations and are obtained by solving Helmholtz-Hodge decomposition problems. A Chebyshev-Fourier pseudo-spectral approach to the appearing numerical problems in the underlying cylindrical coordinate system is studied while avoiding unstable spectral differentiation. The appearing Poisson problems are directly solved for the second derivatives of their solutions. For this, a sophisticated Poisson solver, based on modified Bessel functions, is developed and employed. Time-stepping techniques, fixed and adaptive, are proposed and numerically investigated. Furthermore, several methods for the scattered interpolations of the flow fields, known on the particle trajectories after a time step insertion, back onto the fixed grid are reviewed and compared. The presented implementation of the CLA aims for accuracy and is found to be stable and fast also due to the absence of a CFL condition. The latter allows larger time steps and thus reduces tremendously the total number of iterations. Thorough tests on stationary and swirl-free flows are executed and discussed, before a number of simulations of the blow-up candidate from before are inspected. The implementation of the CLA that is presented in this thesis proves to be an excellent tool for fast and accurate incompressible Euler computations in the given geometry.