Littlewood-Paley-Stein functions for Schrödinger operators and Hodge-de Rham Laplacian on non-compact manifolds
Fonctions de Littlewood-Paley-Stein pour les opérateurs de Schrödinger et le laplacien de Hodge-de Rham sur des variétés non-compactes
Résumé
We study the boundedness in Lp norm of some functionals linked to evolution equations. The functions we are interested in are the Littlewood-Paley-Stein functionals and are originally defined for the Laplacian on {R}^N by H(f)(x) = left( int_0^infty | e^{-tDelta} f|^2 {d}tight)^{1/2}. The functional H is bounded on Lp for any p in (1,+infty), but this is not the case on manifolds. More precisely, we are interested in the study of Littlewood-Paley-Stein functionals for Schrödinger's operators and Hodge-de Rham's laplacian on non-compact Riemannian manifolds. They are defined by formulas similar to the one introduced by Stein.We are also interested in the problem which motivated the study of these functions, that of the continuity in standard Lp of the Riesz transform L^{-1/2} and d^* LF^{-1/2} and the interactions between these two problems.We first study the functionals associated with Schrödinger's operators or Hodge-de Rham's laplacian outside the usual framework of Gaussian kernel estimation of heat and doubling varieties. We obtain a positive result analogous to the unconditional boundedness of H over L^p for p in (1.2]. In a second step, we study the links between the boundedness of these Littlewood-Paley-Stein functions for the Schrödinger operator and that of the Riesz transform e^{-tL}. We show that the {R}-boundedness of the families of operators { sqrt{t} sqrt{V} e^{-tL}, t geq 0} and { sqrt{t} abla e^{-tL}, tgeq 0 } is equivalent to the boundedness of H_L, and also implies generalized Littlewood-Paley-Stein estimates. Finally, we study the boundedness of conical square functions within the framework of Schrödinger operators on manifolds.
On étudie la continuité en norme Lp de certaines fonctionnelles liées à des équations d'évolution. Les fonctionnelles qui nous intéressent sont les fonctions de Littlewood-Paley-Stein et sont à l'origine définies pour le laplacien sur {R}N par H(f)(x) = left( int_0^infty |e^{-tDelta} f|^2 {d}tight)^{1/2}. La fonctionnelle H est bornée sur L^p(RR) pour tout p in (1,+infty), mais ce n'est pas le cas sur les variétés. Plus précisément, on s'intéresse dans cette thèse à l'étude des fonctionnelles de Littlewood-Paley-Stein pour les opérateurs de Schrödinger et le laplacien de Hodge-de Rham sur les variétés riemanniennes non compactes. Elles sont définies par des formules analogues à celle introduite par Stein. Nous nous intéressons aussi au problème qui a motivé l'étude de ces fonctions, celui de la continuité en norme L^p de la transformée de Riesz L^{-1/2} et d^* LF^{-1/2} et aux interactions entre ces deux problèmes.Nous étudions d'abord les fonctionnelles associées aux opérateurs de Schrödinger ou au laplacien de Hodge-de Rham en dehors du cadre habituel de l'estimation gaussienne du noyau de la chaleur et des variétés doublantes. Nous obtenons un résultat positif analogue à la continuité inconditionnelle de H sur L^p pour p in (1,2]. Dans un second temps, nous étudions les liens entre la bornétude de ces fonctions de Littlewood-Paley-Stein pour l'opérateur de Schrödinger et celle de la transformée de Riesz e^{-tL}. Nous montrons que la {R}-born étude des familles d'opérateurs { sqrt{t} sqrt{V} e^{-tL} ,t geq 0} et { sqrt{t}e^{-tL} , t geq 0 } est équivalente à la bornétude de H_L, et implique aussi des estimations de Littlewood-Paley-Stein généralisées.Enfin, nous étudions la bornétude de fonctions carrés coniques dans le cadre d'opérateurs de Schrödinger sur les variétés. Ces fonctions ont un comportement différent sur Lp selon si p in (1,2] ou si p in [2,infty). Nous comparons aussi les fonctions coniques aux fonctions de Littlewood-Paley-Stein classiques.
Origine : Version validée par le jury (STAR)