Algebraic geometry codes from surfaces over finite fields

par Elena Berardini

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Yves Aubry et de David R. Kohel.

Soutenue le 18-06-2020

à Aix-Marseille , dans le cadre de Ecole Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille) , en partenariat avec Institut de mathématiques de Marseille (I2M) (laboratoire) .

Le président du jury était Serge Vladuts.

Le jury était composé de Iwan Maynard Duursma, Massimo Giulietti, Elisa Lorenzo Garcia.

Les rapporteurs étaient Peter Beelen, Marc Hindry.

mots clés

• Codes géométriques algébriques
• Surfaces algébriques
• Surfaces abéliennes
• Corps finis
• Surfaces algébriques
• Corps finis
• Picard, Groupes de

Titre traduit

Codes géométriques algébriques sur des surfaces définies sur les corps finis

Résumé

Nous proposons, dans cette thèse, une étude théorique des codes géométriques algébriques construits à partir de surfaces définies sur les corps finis. Nous prouvons des bornes inférieures pour la distance minimale des codes sur des surfaces dont le diviseur canonique est soit nef soit anti-strictement nef et sur des surfaces sans courbes irréductibles de petit genre. Nous améliorons ces bornes inférieures dans le cas des surfaces dont le nombre de Picard arithmétique est égal à un, des surfaces sans courbes de petite auto-intersection et des surfaces fibrées. Ensuite, nous appliquons ces bornes aux surfaces plongées dans P3. Une attention particulière est accordée aux codes construits à partir des surfaces abéliennes. Dans ce contexte, nous donnons une borne générale sur la distance minimale et nous démontrons que cette estimation peut être améliorée en supposant que la surface abélienne ne contient pas de courbes absolument irréductibles de petit genre. Dans cette optique nous caractérisons toutes les surfaces abéliennes qui ne contiennent pas de courbes absolument irréductibles de genre inférieur ou égal à 2. Cette approche nous conduit naturellement à considérer les restrictions de Weil de courbes elliptiques et les surfaces abéliennes qui n'admettent pas de polarisation principale.

mots clés

• Algebraic geometry codes
• Algebraic surfaces
• Abelian surfaces
• Finite fields

Résumé

In this thesis we provide a theoretical study of algebraic geometry codes from surfaces defined over finite fields. We prove lower bounds for the minimum distance of codes over surfaces whose canonical divisor is either nef or anti-strictly nef and over surfaces without irreducible curves of small genus. We sharpen these lower bounds for surfaces whose arithmetic Picard number equals one, surfaces without curves with small self-intersection and fibered surfaces. Then we apply these bounds to surfaces embedded in P3. A special attention is given to codes constructed from abelian surfaces. In this context we give a general bound on the minimum distance and we prove that this estimation can be sharpened under the assumption that the abelian surface does not contain absolutely irreducible curves of small genus. In this perspective we characterize all abelian surfaces which do not contain absolutely irreducible curves of genus up to 2. This approach naturally leads us to consider Weil restrictions of elliptic curves and abelian surfaces which do not admit a principal polarization.