Contrôlabilité de quelques systèmes paraboliques

Controllability of some parabolic systems

• Auteur / Autrice : Lydia Ouaili
• Direction : Assia Benabdallah
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 04/06/2020
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Institut de mathématiques de Marseille (I2M)
• Jury : Président / Présidente : Sylvain Ervedoza
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pierre Lissy, Franck Boyer, Judith Vancostenoble, Michel Mehrenberger, Morgan Morancey
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Karine Beauchard, Marius Tucsnak

Mots clés

Mots clés contrôlés

Sturm-Liouville, Opérateurs de

Équations différentielles paraboliques

Mots clés libres

Systèmes paraboliques

Contrôle au bord

Contrôle interne

Méthode des moments

Famille biorthogonale

Coût du contrôle en temps petits

Parabolic systems

Boundary control

Internal control

Moment method

Biorthogonal family

Cost of the control in small time

Résumé

Dans cette thèse, on s’intéresse à la contrôlabilité d’équations paraboliques et à son coût. On étudie dans un premier temps, la contrôlabilité à zéro d’un système de deux équations paraboliques couplés en dimension 1 d’espace, pour lesquelles l’opérateur spacial est de type Sturm-Liouville, avec des conditions au bord de type Dirichlet et un contrôle distribué. Par la méthode des moments on montre l’existence d’un temps minimal de contrôlabilité à zéro sous des conditions géométrique sur le couplage des deux équations. Dans un autre travail, rédigé en collaboration avec González-Burgos, on s’intéresse aux familles biorthogonales aux exponentielles complexes (dont la partie réelle est dominante), sous une condition de gap faible. On montre des estimées inférieures et supérieures de ces familles. Celles ci, sont utilisées pour obtenir le coût du contrôle du système parabolique étudié dans la première partie. Enfin, dans la dernière partie, on utilise les résultats précédents. Ils nous permettent de montrer la contrôlabilité à zéro d’un système parabolique en dimension d’espace supérieure à 1. De plus, on montre la contrôlabilité locale à zéro d’un système parabolique non linéaire de type réaction-diffusion avec un contrôle distribué

In this work we investigate the null controllability of parabolic equations and its cost. We start by studying the null controllability of the one dimensional 2 2 coupled parabolic equations, for which the associated spatial operator is of type Sturm-Liouville, with Dirichlet boundary conditions and internal control. Using the moments method we show the existence of a minimal control time connected to some geometrical conditions on the coupling terms. In an other work, with the collaboration of González-Burgos, we analyze the properties of biorthogonal families to complex exponentials (with dominant real part) under weak gap condition. We prove precise upper and lower bounds for these families. Then, we present an application of these estimates to study the control cost of the parabolic system of the first part. Finally, by using the control cost estimate, we study the null controllability properties of parabolic system, on cylindrical domain with boundary control and local null controllability properties of non linear reaction diffusion system with distributed control