Thèse soutenue

Mesures invariantes en dynamique symbolique : une approche topologique, combinatoire et géométrique
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Auteur / Autrice : Paulina Alejandra Cecchi Bernales
Direction : Valérie BerthéMaría Isabel Cortez
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Informatique
Date : Soutenance le 26/06/2019
Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité en cotutelle avec Universidad de Chile
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019)
Laboratoire : Institut de recherche en informatique fondamentale (Paris ; 2016-....)
Jury : Président / Présidente : Alejandro Maass
Examinateurs / Examinatrices : Valérie Berthé, María Isabel Cortez, Alejandro Maass, Konstantin Medynets, Emmanuel Jeandel, Ana Rechtman
Rapporteurs / Rapporteuses : Konstantin Medynets, Emmanuel Jeandel

Mots clés

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Résumé

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Dans ce travail nous étudions quelques propriétés des systèmes symboliques, avec un accent particulier mis sur le rôle joué par les mesures invariantes de tels systèmes. Nous nous attachons à l'étude des mesures invariantes d'un point de vue topologique, combinatoire et géométrique. Du point de vue topologique, nous nous concentrons sur le problème de l'équivalence orbitale et l'équivalence orbitale forte entre des systèmes dynamiques donnés par des actions minimales de Z, par l'étude d'un invariant algébrique, à savoir, le groupe de dimension dynamique. Notre travail donne une description du groupe de dimension dynamique pour deux classes particulières de sous-shifts : les sous-shifts S-adiques et les sous-shifts dendriques. Du point de vue combinatoire, nous nous intéressons au problème de l'équilibre des sous-shifts minimaux et uniquement ergodiques donnés par des actions de Z. Nous étudions le comportement concernant l'équilibre pour des sous-shifts substitutifs, S-adiques et dendriques. Nous établissons des conditions nécessaires pour qu'un sous-shift substitutif minimal avec des fréquences rationnelles soit équilibré par rapport à ses facteurs, en obtenant comme corollaire le déséquilibre des facteurs de longueur supérieure à 2 dans le sous-shift engendré par la substitution de Thue-Morse. Enfin, du point de vue géométrique, nous étudions le problème de réalisation des simplexes de Choquet comme des ensembles de mesures de probabilité invariantes associés à des systèmes donnés par des actions minimales des groupes moyennables sur l'ensemble de Cantor. Nous introduisons la notion de groupe moyennable congruent-monopavable, nous montrons que tout groupe moyennable virtuellement nilpotent est congruent-monopavable, et que pour un group discret infini G avec cette propriété, tout simplexe de Choquet peut s'obtenir comme l'ensemble des mesures invariantes d'un G-sous-shift minimal.