Moduli spaces of Willmore immersions

par Nicolas Marque

Thèse de doctorat en Mathématiques. Analyse géométrique

Sous la direction de Paul Laurain.

Soutenue le 09-12-2019

à l'Université Paris Cité , dans le cadre de École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....) , en partenariat avec Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....) (laboratoire) .

Le président du jury était Laurent Hauswirth.

Le jury était composé de Paul Laurain, Laurent Hauswirth, Andrea Mondino, Jan Metzger, Yann Bernard, Frédéric Hélein, Ilaria Mondello, Olivier Druet.

Les rapporteurs étaient Andrea Mondino, Jan Metzger.

mots clés

• Surfaces de Willmore
• Compacité
• Espace de De Sitter
• Epsilon régularité
• Géométrie conforme
• Surfaces minimales
• Lorentz, Espaces de
• Lois de conservation (mathématiques)

Titre traduit

Espaces de modules des immersions de Willmore

Résumé

Dans ce travail doctoral, nous commençons par présenter une synthèse du formalisme des immersions faibles de Willmore. A cet effet, nous introduisons les lois de conservation et les exploitons pour retrouver les résultats d'epsilon régularité, ainsi qu'un résultat de régularité faible inédit. Nous présentons ensuite une étude de l'application de Gauss conforme et de ses liens avec la notion de surface de Willmore. Nous en déduisons une loi d'échange de résidus ainsi que d'une caractérisation originale des surfaces étant transformations de surfaces à courbure moyenne constante. Nous appliquons ensuite ces outils aux suites d'immersions de Willmore. Nous montrons tout d'abord qu'elles ne sont pas compactes avec un premier exemple de concentration pour les surfaces de Willmore. Cependant, en se basant sur un résultat d'epsilon régularité demandant un contrôle sur la courbure moyenne, nous montrons une compacité sous un certain plafond d'énergie

mots clés

• Willmore surfaces
• Compactness
• De Sitter spaces
• Epsilon regularity

Résumé

In this doctoral work we start by exposing a synthesis of the weak Willmore immersions formalism. To that end, we introduce conservation laws and exploit them to recover the epsilon-regularity theorems, as well as an innovative weak regularity result. We then present a study of the conformal Gauss map and its links with the Willmore surface notion. From this, we deduce an exchange law for residues as well as an original caracterization of surfaces that are conformal transforms of constant mean curvature surfaces. We then apply these tools to sequences of Willmore immersions. We first show that they are not compact wth a first instance of concentration for Willmore surfaces. However, relying upon an epsilon-regularity result based on a small control on the mean curvature, we show compactness below a given threshold