Une méthode itérative régularisée pour la segmentation avec des applications aux statistiques

An iterative regularized method for segmentation with applications to statistics

• Auteur / Autrice : Vivien Goepp
• Direction : Grégory Nuel, Olivier Bouaziz
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 27/09/2019
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : MAP5 - Mathématiques Appliquées à Paris 5
• Jury : Président / Présidente : Hélène Jacqmin-Gadda
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Hélène Jacqmin-Gadda, Julien Chiquet, Catherine Legrand, Chantal Guihenneuc-Jouyaux, Jean-Philippe Vert, Jean-Christophe Thalabard
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Julien Chiquet, Catherine Legrand

Mots clés

Mots clés contrôlés

Splines, Théorie des

Analyse par cohorte

Ridge régression (statistique)

Mots clés libres

Mathématiques appliquées

Applied mathematics

Résumé

Cette thèse porte sur l’élaboration de méthodes régularisées utilisant l’estimation par maximum de vraisemblance pénalisée. Plus précisément, j’utilise une méthode parcimonieuse itérative, appelée adaptative ridge. Cette dernière est compétitive par rapport à d’autres approches, notamment en termes de facilité de mise en œuvre et de temps de calcul. Mon travail consiste à appliquer cette méthode à un large éventail de problèmes : l’analyse de survie, la régression par splines et la segmentation spatiale. Ces applications dans différentes problématiques montrent que la bonne performance de l’adaptive ridge en sélection, sa grande facilité de mise en œuvre et son faible coût de calcul peuvent en faire un bon point de départ dans les méthodes de sélection de variable par pénalisation. En analyse de la survie, les données sont souvent recueillies en suivant une cohorte, auquel cas les événements sont largement répartis dans le temps et l’échantillon peut présenter une hétérogénéité. Je me concentre d’abord sur le développement d’une méthode d’estimation de l’incidence qui permet de détecter l’hétérogénéité par rapport à la date de naissance (ou cohorte). Un problème proche est l’étude de l’évolution de l’inférence en fonction de l’âge, de la date de naissance (cohort) et de la date calendaire (period). Les épidémiologistes ont longtemps eu recours au modèle age-periodcohort ou à ses sous-modèles. Ces dernières supposent des effets linéaires de chaque variable, ce qui est jugé trop simpliste pour estimer des caractéristiques potentiellement importantes de l’incidence. Dans ce cadre, j’élabore un modèle estimant conjointement l’effet de deux variables et de leur interaction. La régression par splines est connue pour être une méthode performante de régression non paramétrique. Cependant, la spline estimée dépend fortement du choix initial des nœuds et le choix des meilleurs nœuds est un problème difficile en pratique. Je propose une approche permettant l’estimation des meilleurs nœuds conjointement avec la fonction spline. En initiant un grand nombre de nœuds et en supprimant successivement les moins pertinents, ma méthode fait une hypothèse légèrement restrictive pour diminuer grandement le temps de calcul. En statistiques spatiales, le domaine spatial est souvent divisé en "unités" et les données sont recueillies au niveau des unités. L’effet spatial est estimé sur chaque unité et sa représentation est soumise à l’arbitraire de la division de l’unité, ce qui rend son interprétation difficile. Ceci peut être résolu par la régularisation, ce qui réduit la variance et augmente l’interprétabilité. Je présente un modèle de segmentation des données spatiales basé sur la structure d’adjacence des unités.

This thesis deals with the development of regularized methods using penalized maximumlikelihood estimation. More specifically, I use a sparsity-inducing iterative method called adaptive ridge. The latter is competitive compared to other approaches, namely in terms of ease of implementation and computational cost. My work consists in the application of this method to a wide range of problems: survival analysis, spline regression, and spatial segmentation. Applications in several problematics show that the adaptive ridge’s good performance in selection, great ease of implementation and low computational cost can make it a good starting point in penalization-base variable selection. In survival analysis, data are often collected by following a cohort, in which case the events are widely spread through time and the sample is suspected to present heterogeneity. I first focus on developing a method for the inference of the incidence, which allows to detect heterogeneity with respect to the date of birth (or cohort). A closely related problem is the study of the evolution of the inference as a joint function of the age, the date of birth (cohort), and the calendar time (period). Epidemiologists have long resorted to the age-period-cohort model or its submodels. The latter assume linear effects of each variable, which is deemed too simplistic to estimate potentially important features of the incidence. In this framework, I develop a model allowing for the joint estimation of two variables’ effects and of their interaction. Spline regression is known to be a competitive method for non-parametric regression. However the estimated spline depends highly on the initial choice of knots and choosing the best knots is a computationally hard problem. I propose an approach for the estimation of the best knots jointly with the spline function. By initiating a large number of knots and successively removing the least relevant ones, my method makes a slightly restrictive hypothesis to remove much of the computational burden. In spatial statistics, the spatial domain is often divided into “units” and data are gathered at the unit level. The spatial effect is estimated on each unit and its representation is subject to the arbitrary of the unit division, which makes its interpretation difficult. This can be resolved by regularization, which reduces the variance and increases the interpretability. I present a model for segmentation of spatial data based on the adjacency structure of the units.