Analyse et probabilité sur les groupes quantiques (localement) compacts et les groupes duaux

Analysis and Probability on (locally) compact quantum groups and dual groups

• Auteur / Autrice : Isabelle Baraquin
• Direction : Uwe Franz
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 02/07/2019
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Besançon (Besançon) - Laboratoire de Mathématiques
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation : Université de Franche-Comté (1971-....)
• Jury : Président / Présidente : Christian Le Merdy
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Uwe Franz, Christian Le Merdy, Moritz Weber, Yulia Kuznetsova, Amaury Freslon, Roland Vergnioux
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Moritz Weber

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algèbres d'opérateurs

Probabilités

Groupes quantiques

Mots clés libres

Groupe quantique fini

État de Haar

Probabilités libres

Marche aléatoire

Groupe dual

*-Distribution

Finite quantum group

Haar state

Free probability

Random walk

Dual group

*-Distribution

Résumé

Dans une première partie, nous introduisons les outils des mathématiques non commutatives que nous utiliserons dans notre étude des groupes quantiques finis et des groupes duaux. En particulier, nous présentons ces "groupes" et certaines de leurs propriétés.La seconde partie est dédiée à l'étude de certains groupes quantiques finis : celui de Kac-Paljutkin et la famille de Sekine. Pour chacun, nous étudions les propriétés (asymptotiques) de l'*-distribution des caractères irréductibles et la convergence de marches aléatoires définies à partir de combinaisons linéaires de caractères irréductibles. Nous commençons par examiner la théorie des représentations et de leurs puissances pour déterminer les caractères irréductibles. Ensuite, nous étudions l'*-distribution des traces de ces puissances, par rapport à l'état de Haar, en regardant les *-moments joints. Dans le cas de la famille de Sekine, nous déterminons la distribution asymptotique (lorsque la dimension de l'algèbre tend vers l'infini), en considérant la convergence des moments. L'étude des marches aléatoires débute en bornant la distance à l'état de Haar. Nous déterminons ensuite le comportement asymptotique et l'état limite s'il existe. Remarquons que les limites possibles sont les états idempotents centraux. Nous étudions aussi le phénomène de seuil dans le cadre des groupes quantiques de Sekine.Dans la troisième partie, nous étudions les groupes duaux au sens de Voiculescu. En particulier, nous nous intéressons aux propriétés asymptotiques de l'*-distribution des traces de certaines matrices, par rapport à la trace de Haar libre sur le groupe dual unitaire. Les matrices considérées sont les puissances de la matrice unitaire engendrant l'algèbre de Brown. Nous procédons en deux étapes : premièrement, nous calculons les *-moments joints, puis nous caractérisons la distribution grâce aux cumulants libres. Nous obtenons que ces traces sont asymptotiquement des variables aléatoires circulaires *-libres. Nous explorons aussi le groupe dual orthogonal, qui a un comportement similaire.

In the first part, we introduce the tools of noncommutative mathematics that we will use in our study of finite quantum groups and dual groups. In particular, we present these "groups" and some of their properties.The second part is dedicated to the study of some finite quantum groups: the Kac-Paljutkin one and the family of Sekine. For each of these examples, we study (asymptotic) properties of the *-distribution of irreducible characters and convergence of random walks arising from linear combinations of irreducible characters. We first examine the representation theory to determine irreducible representations and their powers. Then we study the *-distribution of their trace with respect to the Haar state, by looking at the mixed *-moments. For the Sekine family we determine the asymptotic distribution (as the dimension of the algebra goes to infinity), by considering convergence of moments. For study of random walks, we bound the distance to the Haar state and determine the asymptotic behavior, i.e. the limit state if it exists. We note that the possible limits are any central idempotent state. We also look at cut-off phenomenon in the Sekine finite quantum groups.In the third part, we study dual groups in the sense of Voiculescu. In particular, we are interested in asymptotic properties of the *-distribution of traces of some matrices, with respect to the free Haar trace on the unitary dual group. The considered matrices are powers of the unitary matrix generating the Brown algebra. We proceed in two steps, first computing the mixed *-moments, then characterizing the distribution thanks to the free cumulants. We obtain that these traces are asymptotically *-free circular variables. We also explore the orthogonal dual group, which has a similar behavior.