Rational curves on irreducible symplectic varieties of OG10 type

par Valeria Bertini

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Gianluca Pacienza, Antonio Rapagnetta et de Carlo Gasbarri.

Soutenue le 16-12-2019

à Strasbourg en cotutelle avec l'Università degli studi di Roma "Tor Vergata" (1972-....) , dans le cadre de École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....) , en partenariat avec Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg) (laboratoire) .

Le président du jury était Kieran G. O'Grady.

Le jury était composé de Gianluca Pacienza, Antonio Rapagnetta, Carlo Gasbarri, Kieran G. O'Grady, Arvid Perego, Samuel Boissière, Giovanni Mongardi, Lie Fu.

Les rapporteurs étaient Arvid Perego, Samuel Boissière.

mots clés

• Variétés holomorphes symplectiques irréductibles
• Courbes rationnelles
• Variétés OG10
• Cohomologie
• Variétés complexes
• Variétés symplectiques
• Fonctions holomorphes

Titre traduit

Courbes rationnelles sur variétés holomorphes symplectiques irréductibles

Résumé

Les variétés holomorphes symplectiques irréductibles (VHSI) sont l'analogue algébrique des variétés Riemannienne hyperkähler. Une VHSI X avec dimension 2 est une surface K3, et dans ce cas, si de plus X est projective, chaque courbe ample sur X est linéairement équivalente à une somme de courbes rationnelles (Bogomolov, Mumford). Charles, Mongardi et Pacienza ont démontré l'existence de diviseurs uniréglés dans (presque) tous les systèmes linéaires amples sur une VHSI qui est déformation d'un schéma de Hilbert sur une surface K3 ou d'une variété de Kummer generalisée. La présence de nombreuses courbes rationnelles dans X simplifie la structure du 0-group de Chow de X. Dans ma thése, j'ai travaillé sur le cas OG10, la VHSI définie par O'Grady; la variété OG10 est importantes et très activement étudiées. Le résultat principal de ma thèse démontre l'existence de diviseurs uniréglés amples sur chaque VHSI projectives appartenant à trois composantes connexes de l'espace de modules des OG10.

mots clés

• Irreducible holomorphic symplectic varieties
• Rational curves
• OG10 varieties

Résumé

Irreducible holomorphic symplectic varieties (IHSV) are the algebraic analogue of the hyperkähler Riemannian manifolds. An IHSV of dimension 2 is a K3 surface; in this case, if furthermore X is projective, any ample curve on X is linearly equivalent to a sum of rational curves (Bogomolov, Mumford). Charles, Mongardi and Pacienza proved the existence of uniruled divisors on (almost) any ample linear system on a IHSV that is deformation equivalent to an Hilbert scheme on a K3 surface, or to a generalized Kummer variety. The existence of many rational curves on X semplifies the structure of the 0-Chow group of X. In my thesis, I worked on the OG10 case, the IHSV defined by O’Grady; the variety OG10 isimportant and very actively studied. The main result of my thesis proves the existence of ample uniruled divisors on any IHSV inside three connected components of the moduli space of OG10 varieties