Thèse soutenue

Approche combinatoire pour l'automatisation en Coq des preuves formelles en géométrie d'incidence projective
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Auteur / Autrice : David Braun
Direction : Pascal Schreck
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Informatique
Date : Soutenance le 23/09/2019
Etablissement(s) : Strasbourg
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire des sciences de l'ingénieur, de l'informatique et de l'imagerie (Strasbourg)
Jury : Président / Présidente : Dominique Bechmann
Examinateurs / Examinatrices : Pascal Schreck, Dominique Bechmann, Jacques Fleuriot, Dominique Michelucci, Laurent Théry, Nicolas Magaud
Rapporteurs / Rapporteuses : Jacques Fleuriot, Dominique Michelucci

Résumé

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Ce travail de thèse s’inscrit dans le domaine de la preuve assistée par ordinateur et se place d'un point de vue méthodologique. L’objectif premier des assistants de preuves est de vérifier qu’une preuve écrite à la main est correcte; la question ici est de savoir comment à l’intérieur d’un tel système, il est possible d'aider un utilisateur à fabriquer une preuve formelle du résultat auquel il s'intéresse. Ces questions autour de la vérification de preuves, en particulier en certification du logiciel, et au delà de leur traçabilité et de leur lisibilité sont en effet devenues prégnantes avec l’importance qu’ont prise les algorithmes dans notre société. Bien évidemment, répondre à la question de l’aide à la preuve dans toute sa généralité dépasse largement le cadre de cette thèse. C’est pourquoi nous focalisons nos travaux sur la preuve en mathématiques dans un cadre particulier qui est bien connu dans notre équipe : la géométrie et sa formalisation dans le système Coq. Dans ce domaine, nous mettons premièrement en évidence les niveaux auxquels on peut oeuvrer à savoir le contexte scientifique à travers les méthodes de formalisation mais aussi le contexte méthodologique et technique au sein de l'assistant de preuve Coq. Dans un second temps, nous essayons de montrer comment nos méthodes et nos idées sont généralisables à d'autres disciplines. Nous mettons ainsi en place dans nos travaux les premiers jalons pour une aide à la preuve efficace dans un contexte géométrique simple mais omniprésent. À travers une approche classique fondée sur la géométrie synthétique et une approche combinatoire complémentaire utilisant le concept de rang issu de la théorie des matroïdes, nous fournissons à l'utilisateur des principes généraux et des outils facilitant l'élaboration de preuves formelles. Dans ce sens, nous comparons les capacités d'automatisation de ces deux approches dans le contexte précis des géométries finies avant de finalement construire un prouveur automatique de configuration géométrique d'incidence.