Thèse soutenue

Formules d'intégration par parties pour les lois des ponts de Bessel, et EDP stochastiques associées
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Auteur / Autrice : Henri Elad Altman
Direction : Lorenzo Zambotti
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 18/04/2019
Etablissement(s) : Sorbonne université
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
Jury : Président / Présidente : Thomas Duquesne
Examinateurs / Examinatrices : Paul Gassiat, Massimiliano Gubinelli, Martin Hairer
Rapporteurs / Rapporteuses : Arnaud Debussche, Tadahisa Funaki

Résumé

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Dans cette thèse, nous obtenons des formules d’intégration par parties pour les lois de ponts de Bessel de dimension δ > 0, étendant ainsi les formules précédemment obtenues par Zambotti dans le cas δ ≥ 3. Ceci nous permet d’identifier la structure de certaines EDP stochastiques (EDPS) ayant la loi d’un pont de Bessel de dimension δ ∈ (0, 3) pour mesure invariante, et qui étendent de manière naturelle les EDPS considérées précédemment par Zambotti dans le cas δ ≥ 3. Nous nommons ces équations EDPS de Bessel, et les écrivons à l’aide de temps locaux renormalisés. Dans les cas particuliers δ = 1, 2, en utilisant la théorie des formes de Dirichlet, nous construisons une solution d’une version faible de ces EDPS. Nous prouvons également plusieurs résultats partiels qui suggèrent que les EDPS de Bessel de paramètre δ < 3 possèdent certaines propriétés importantes: propriété de Feller forte, existence de temps locaux. Enfin, nous considérons différents modèles de pinning critiques dynamiques, discret et continu, et prouvons un résultat de tension. Nous conjecturons que ces modèles ont une même limite en loi décrite par l’EDPS de Bessel associée à δ = 1.